ИСТИНА

Цель предлагаемого проекта --- применение методов бесконечномерного и стохастического анализа к исследованию проблем, возникающих в квантовой теории. При этом предполагается систематически использовать гамильтоновы структуры на гильбертовых пространствах квантовых систем. Таким образом можно получить описание новых подходов к методу вторичного квантования, в том числе систем с взаимодействием, а также описание новых подходов к исследованию эволюции открытых квантовых систем. В первом случае применяется квантование по Шрёдингеру к той гамильтоновой системе, уравнение Гамильтона для которой совпадает с так называемым нелинейным уравнением Шрёдингера. С другой стороны, довольно естественно такая эволюция описывается с помощью меры Вигнера, являющейся бесконечномерным аналогом функции Вигнера. Разумеется, псевдомера Вигнера, принимающая значения разных знаков, не является вероятностной; тем не менее, даваемое ею описание состояния квантовой системы полностью равносильно описанию того же состояния с помощью оператора плотности. Отметим, что надлежащим образом преобразованные мера или функция Вигнера позволяют получить вероятностные распределения одновременно измеряемых некоммутирующих наблюдаемых; по-видимому, соответствующее преобразование впервые было выполнено Хусими, из-за чего плотность соответствующего совместного распределения называется функцией Хусими. Эта функция Хусими связана с уравнением Шредингера—Белавкина с двумерным белым шумом. Во всех этих случаях для описания эволюции получающихся квантовых систем предполагается использовать формулы Фейнмана, иногда даже не выписывая соответствующих уравнений. Формулы Фейнмана дают аппроксимации бесконечномерных интегралов (по траекториям в тех пространствах, декартовы степени которых используются в формулах Фейнмана) из формул Фейнмана—Каца. Стоит подчеркнуть, что во всех этих случаях естественным образом появляются негауссовские меры и псевдомеры на бесконечномерных пространствах. Проблемы, о которых идёт речь, возникают при квантовании гамильтоновых систем со связями (систем Гамильтона—Дирака, или обобщенных гамильтоновых систем); такие системы используются в теории калибровочных полей и в М-теории. Кроме того, отметим, что задачи, возникающие в теории когерентного управления квантовыми системами (при когерентном управлении квантовыми системами не производится классических измерений), представляют собой задачи из теории открытых квантовых систем. Предполагается также получить формулы Фейнмана, аппроксимирующие решения (псевдо)дифференциальных уравнений, как обычных, так и стохастических, на римановых и псевдоримановых многообразиях, на графах, на однородных пространствах групп диффеоморфизмов и на пространствах отображений в (псевдо)римановы пространства. Кроме того, предполагается получить формулы Фейнмана для регуляризованных следов и детерминантов некоторых дифференциальных операторов.

The subject of the project is an application of infinite dimensional analysis and of stochastic analysis to the investigation of problems arising in the quantum theory. We suppose to use systematically the Hamiltonian structures on Hilbert spaces of quantum systems. By this way one can obtain some new approaches to the method of second quantization, including the second quantization of systems with interaction, and also some new approaches to the investigation of evolution of open quantum systems. In the first case one apply the Schroedinger quantization to the Hamiltonian system, whose Hamiltonian equation coinside with the so called non-linear Schroedinger equation. In the second case, this evolution is quite naturally decribed by a Wigner (generalized) measure, which is an infinite dimensional analogue of the Wigner function. Of course, the Wigner measure, having real values of different signs is not a probabilistic one; nevertheless, it defines the description of quantum system which is equivalent to the description given by the density operator. It is important to mention that the (properly transformed) Wigner measure (or function) allows to obtain probability distributions of simultaneously measured non-commuting observables; probably, at the first time the correspondent transformation was performed by Husimi, because of what the density of the corresponding joint distribution is called the Husimi function. This Husimi function is related to the Schroedinger--Belavkin equation with the two-dimensionsl white noise. In all these cases, for describing the evolution of the obtained quantum systems, one plans to use the Feynman formulas, sometimes without explicit writing the corresponding equations. The Feynman formulas give the approximations of infinite dimensional integrals (over the spaces of paths, taking values in those spaces, whose Cartesian powers are used in the Feynman formulas) from the Feynman--Kac formulas. It is worth mentioning that in all these cases the non-gaussian measures on infinite dimensional spaces arise by natural ways. The problems mentionned above arise in the quantum theory of Hamiltonian systems with constraints (Hamilton--Dirac systems, or generalized Hamiltonian systems); such systems are used in the gauge fields theory and in the M-theory. Also the problems arizing in the coherent quantum control theory (the quantum control is called coherent if the quantum system under the control are not classically observed) are actually the problems of the theory of open quantum systems. It is also planned to obtain the Feynman formulas approximating solutions of pseudodifferential equations and of stochastic pseudodifferential equations, on Riemannian and pseudo-Riemannian manifolds, on graphs, on the homogeneous spaces of diffeomorphisms groups and on spaces of mappings to pseudo-Riemannian manifolds. Besides it is planned to obtain the Feynman formulas for the regularized traces and determinants of some differential operators.

Разработка новых методов бесконечномерного анализа, описывающих динамику широкого класса систем, встречающихся в квантовой теории, а также в функциональном анализе, стохастическом анализе и теории уравнений с частными производными. При этом наиболее подробно планируется рассмотреть следующие классы объектов. 1. Квантовые аналоги лагранжевых систем с неголономными связями и систем Гамильтона—Дирака (они же гамильтоновы системы со связями, а также обобщенные гамильтоновы системы), в том числе их супераналогов. 2. Открытые квантовые системы; их теория играет существенную роль в квантовой теории управления, а также связана с основами квантовой механики через теорию декогеренизации. 3. Квантовые системы с взаимодействием, в том числе важные для квантовой статистической механики. 4. Стохастическая и квантовая динамика на графах и многообразиях с разветвлениями. 5. Регуляризованные следы и детерминанты дифференциальных операторов. 6. Квазиинвариантные и дифференцируемые меры на группах диффеоморфизмов и на пространствах отображений конечномерных римановых многообразий. Отметим, что разработанные при этом методы могут оказаться полезными и в ряде других областей: теория представлений групп Ли, как конечномерных, так и бесконечномерных; квантовое управление; квантовая гравитация; аппроксимации операторных групп и полугрупп различных типов; динамика протеинов; магнитная гидродинамика; теория калибровочных полей; теория наносистем и биология; негауссов бесконечномерный анализ и суперанализ.

Членами исследовательской группы получены оригинальные результаты, связанные с темой предлагаемого проекта. В целом их можно охарактеризовать как негауссовские методы анализа. Эти результаты относятся прежде всего к разработке новых методов исследования, применимых к широким классам важных для приложений в математической физике задач бесконечномерного и стохастического анализа. В частности, были получены представления (с помощью формул типа Фейнмана и Фейнмана—Каца) решений начально—краевых задач, описывающих диффузию и квантовую эволюцию квазичастиц на графах и в областях римановых многообразий с разветвлениями. При этом явно прослеживается связь между зависимостью самосопряженных расширений соответствующих псевдодифференциальных операторов от граничных условий и условий согласования (на многообразиях разветвлений) и зависимостью от тех же условий порождаемой теми же расширениями динамики. При получении формул Фейнмана существенно используются различные версии теоремы Чернова, обобщающие известную теорему Троттера (соответствующая ссылка была приведена выше). Следует подчеркнуть, что для рассматриваемого круга задач формула Троттера совершенно недостаточна; впервые метод вывода формул Фейнмана, основанный на использовании теоремы Чернова, был предложен в работах руководителя предлагаемого проекта. Развитые методы были использованы также для получения представлений перечисленных выше бесконечномерных групп Ли. При этом существенную роль играет построение квазиинвариантных относительно действия этих групп мер на них и на близким к ним бесконечномерных многообразиях. Отметим, что именно с использованием свойств таких квазиинвариантных мер была установлена в работе члена предлагаемой группы Е.Т.Шавгулидзе аменабельность группы Томпсона и близких к ней групп; этот результат дает решение проблемы, остававшейся открытой в течение нескольких десятилетий. Описанная техника оказалась применимой и к задачам p-адического анализа.

В ходе выполнения проекта исследованы и решены задачи, перечисленные в заявке, и развиты соответствующие математические методы. Одним из полученных при этом результатов является разрешение существующего в монографической литературе противоречия в объяснении происхождения квантовых аномалий. При этом был разработан новый подход к формализации функциональных интегралов Фейнмана (интегралов Фейнмана по траекториям), основанный на использовании инвариантной относительно сдвигов обобщенной меры (аналога распределения Соболева-Шварца), названной мерой Лебега-Фейнмана. Как известно, первое определение интеграла Фейнмана по траекториям принадлежит самому Фейнману, который предложил считать его равным пределу конечнократных интегралов из «формулы Фейнмана» (это название было введено в статье руководителя проекта с соавторами, опубликованной в 2002 году в J.of Math. Physics, где впервые для доказательства существования функциональных интегралов Фейнмана была применена теорема Чернова (Chernoff)); в то же время он предложил считать его интегралом от функции, содержащей в качестве сомножителя экспоненту от классического действия, по аналогу меры Лебега, которая в бесконечномерном случае, согласно теореме А.Вейля, не существует. При формализации такого подхода эту меру следует отождествить с мерой Лебега-Фейнмана; описанный метод существенно отличается от известных формализаций функционального интеграла Фейнмана. При этом получен ряд результатов о квантовых аномалиях, основанный на использовании преобразований мер Лебега--Фейнмана, порождаемых преобразованиями пространств, на которых они определены. Квантовой аномалией называется нарушение при квантовании инвариантности относительно каких-то преобразований. Это означает, что квантовый аналог классической гамильтоновой системы, инвариантной относительно некоторых преобразований, оказывается неинвариантным относительно тех же преобразований. В монографиях Fujikawa, K. and Suzuki, H., Path Integrals and Quantum Anomalies, Oxford University Press, 2004, второе издание вышло в 2013, и Cartier, P. and DeWitt-Morette, C., Functional Integration, Cambridge University Press, 2006 высказаны взаимно исключающие точки зрения на причины возникновения квантовых аномалий. В ходе выполнения проекта это противоречие было разрешено в пользу точки зрения, представленной в первой из названных монографий. При этом были использованы два различных подхода. В одном из них применяются (логарифмические) производные меры Лебега--Фейнмана вдоль векторных полей, порождаемых рассматриваемыми преобразованиями. Второй подход основан на использовании формул для конечных преобразований мер Лебега-Фейнмана, получаемых с помощью интегрирования их производных. Был развит также метод исследования случайных семейств неограниченных операторов, основанный на совершенно новом использовании теоремы Чернова. Далее, были исследованы гамильтоновы структуры, превращающие квантовые версии систем Гамильтона--Дирака в бесконечномерные системы Гамильтона--Дирака, что позволило, с одной стороны, описать вторичное квантование систем Гамильтона--Дирака как квантование по Шредингеру этих бесконечномерных систем Гамильтона--Дирака и, с другой стороны, ввести для них же функцию Вигнера и описать ее динамику. Кроме того, было проведено изучение аксиоматически определяемой когерентной квантовой обратной связи. Наконец, были получены формулы Фейнмана для регуряризованных определителей экспонент от дифференциальных операторов. Были исследованы и все остальные перечисленные в заявке задачи; стоит отметить также, что при выполнении проекта была развита техника, пригодная для решения и многих других задач.