Комбинаторные матричные функции и их приложения в задачах линейной алгебрыНИР

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 12 мая 2015 г.-31 декабря 2015 г. Комбинаторные матричные функции в задачах линейной алгебры
Результаты этапа: 1. Формула, выражающая перманент (0,1,-1) или (1,-1)-матрицы через числа обобщенных диагоналей с заданными количествами отличных от 1 элементов. Исследование свойств делимости перманентов. Доказательство делимости перманента (1,-1)-матрицы на 2^{n-[log_2(n+1)]}. Бесконечная серия примеров теплицевых (1,-1)-матриц с перманентом 2^{n-[log_2(n+1)]}. 2. Асимптотические оценки наибольшего значения перманента (0,1)-матрицы порядка n, не делящегося на фиксированное простое число p. Асимптотика числа значений перманента в интервале от (n+1)!/(ne), где е – основание натурального логарифма, до n!. Следствия о нереализуемых значениях перманента (0,1)-матриц. 3. Нижние оценки функции f(n), для которой справедливо, что перманент адамаровой матрицы порядка n делится на 2^f(n), улучшающие известную оценку f(n)= n-[log_2(n+1)]. 4. Доказательство теоремы о том, что все симметричные бесследные вполне неприводимые (0,1)-матрицы, число единиц которых не превосходит 2n+5, знаково конвертируемы. Характеризация неконвертируемых симметрических бесследных вполне неприводимых матриц, число единиц которых равняется 2n+6. 5. Примеры конвертируемых и неконвертируемых турнирных, циркулянтных, теплицевых и ганкелевых матриц. Гипотезы о границах Гибсона и возможностях биективной конвертации в этих случаях. 6. Структурное описание подмножеств и собственных подалгебр в алгебре матриц порядка n, длины которых равны 2n-3. Подтверждение или опровержение гипотезы о том, что длина собственной подалгебры в алгебре матриц порядка n равна 2n-3 тогда и только тогда, когда размерность подалгебры максимальна и равна n^2-n+1. 7. Доказательство того, что длина групповой алгебры конечной абелевой группы над полем комплексных чисел на единицу меньше порядка группы. Оценки длины групповой алгебры конечной абелевой группы над конечным полем. Вычисление длины групповых алгебр симметрических групп на множествах из 3 и 4 элементов и группы кватернионов над полем комплексных чисел. 8. Определение ранговой функции, которая оценивает сверху факторизационный, слабый строчный, слабый столбцовый и другие ранговые функции булевых и тропических матриц. Описание ее геометрических характеристик. Обоснование, почему эту функцию естественно считать ранговой. Границы возможных значений этой функции и сложность ее вычисления. 9. Определение сложности факторизации неотрицательных и тропических матриц малого ранга. 10. Полное решение проблемы Бисли и Лаффи о неотрицательном ранге симметрической матрицы, имеющей ровно одно собственное значение. Примеры вычисления неотрицательного ранга симметрических матриц с 2 различными собственными значениями. 11. Описание представлений тропической матрицы в виде суммы элементов тропических многообразий, в частности, тропических линейных пространств.
2 11 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Приложения комбинаторных матричных функций в задачах линейной алгебры
Результаты этапа: 1. Асимптотические оценки значений перманента, начиная с которых отсутствует делимость перманента на 2, 3, 5, 7 и т.д. 2. Характеризация множества целых чисел, нереализуемых в виде значений перманента (0,1)-матриц фиксированного размера n. А.5. Доказать делимость перманента (1,-1)-матрицы на 2^{n-[log_2(n+1)]}. 3. Построение серии примеров матриц с перманентом 2^{n-[log_2(n+1)]}. 4. Структурное описание неконвертируемых турнирных, циркулянтных, теплицевых и ганкелевых матриц с наименьшим возможным числом единиц. 5. Определение границ Гибсона знаковой конвертируемости имманантов для матриц, принадлежащих некоторым специальным множествам. 6. Описание строения и численных характеристик некоммутативных матричных подалгебр в алгебре верхнетреугольных матриц порядка n, длины которых равны n-1 и n-2, т.е. отличаются от максимального значения не более, чем на единицу. 7. Построение серии примеров порождающих множеств матричной алгебры размера n, имеющих длину 2n-3, содержащей среди прочих множество, обладающее модифицированным свойством Пуанкаре-Биркгофа-Вита. 8. Характеризация полуколец, ранг матриц над которыми совпадает с наибольшим размером невырожденной подматрицы. 9. Доказательство существования верхних оценок ранга метрики с заданными значениями рангов ограничений этих метрик на множества фиксированного ранга.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".