ИСТИНА

Для достаточно общих задач на условный экстремум в Банаховых пространствах выделяется класс задач, для которых классические методы исследования основанные на принципе Лагранжа не работают. Общим свойством таких задач является то, что первая производная отображения, задающего ограничения экстремальной задачи, в исследуемой точке вырождается и не дает достаточной информации о самом отображении в окрестности этой точки. Такие точки называются особыми или нерегулярными точками отображения. Поэтому принцип Лагранжа, который, по сути, является линеаризацией исходной задачи, не дает содержательной информации о таких экстремальных точках и тривиально выполняется в любой нерегулярной точке ограничений независимо от минимизируемой функции. Такие задачи, следуя известной монографии Блисса, называются анормальными. Так как свойство анормальности присуще экстремальной задаче в достаточно общей постановке, то оно проявляется и в различных приложениях общей задачи, таких как задачи математического программирования, вариационного исчисления и оптимального управления. Соответственно для этих задач классические методы исследования основанные на правиле множителей Лагранжа, условиях Эйлера-Лагранжа и принципе максимума Понтрягина также не дают никакой информации о точках экстремума. Доказаны необходимые условия экстремума первого и второго порядка содержательные для анормальных экстремальных задач в Банаховых пространствах, которые в регулярном случае непосредственно превращаются в классические необходимые условия экстремума первого и второго порядка. Аппаратом для получения таких необходимых условий являются теорема об оценке, которую можно рассматривать как развитие теоремы Люстерника на нерегулярный случай. Полученные общие условия экстремума расшифрованы для задачи Лагранжа вариационного исчисления и задачи оптимального управления. Полученные в результате утверждения усиливают на нерегулярный случай необходимые условия экстремума в виде уравнений Эйлера-Лагранжа и принципа максимума Понтрягина.