ИСТИНА

При исследовании пространств функций и в общей теории линейных топологических пространств важную роль играют компакты, принадлежащие тем или иным специальным классам. Примером могут служить компакты Эберлейна --- компактные подпространства банаховых пространств в слабой топологии, а также более общие компакты Корсона, Гулько и Талаграна. Как правило, такие классы компактов описываются как компактные подпространства функциональных пространств определенного сорта. Поэтому столь важную роль играет теорема Гротендика: если $X$ --- счетно компактное пространство и $M$ --- относительно счетно компактное подмножество пространства $C_p(X)$ непрерывных вещественных функций в топологии поточечной сходимости, то замыкание подмножества $M$ в $X$ --- компакт. После того как эта теорема была доказана (почти полвека назад --- в 1952г.), многие замечательные математики, включая А.В. Архангельского, обобщали теорему Гротендика и получили ряд теорем, имеющих следующую структуру: если пространство $X$ принадлежит некоторому классу пространств $\cal P$ и $M\subset C_p(X)$ в некотором смысле ограничено в $C_p(X)$, то $\overline M$ --- компакт. Работа Х.П. Дельгадильо над диссертацией начиналась с попытки выработать общий подход к получению утверждений типа теоремы Гротендика. В результате автором полностью разработана целая теория свойств типа расположения топологических пространств (общее понятие расположения и наиболее важные примеры были введены А.В. Архангельским). В диссертации предлагается общий подход к изучению свойств типа расположения. Под свойством типа расположения понимается такое свойство, которым может обладать подпространство по отношению ко всему пространству. Подход Х.П. Дельгадильо к рассматриваемому вопросу отличается глубиной и тщательностью, Так, построены несколько операций над свойствами расположения, при применении которых сохраняются наиболее важные свойства расположения; на множестве свойств расположения введен естественный порядок и исследовано его поведение при применении упомянутых операций. Всякое свойство $\cal P$ типа расположенния естественным образом порождает топологическое свойство $\cal K(\cal P)$: пространство $X$ обладает свойством $\cal K(\cal P)$, если замыкание в $X$ любого его $\cal P$-расположенного подпространства компактно. В диссертации исследуется, в частности, поведение топологических свойств такого сорта при компактных отображениях. Полученные результаты особенно важны для $C_p$-теории --- во-первых, в связи с тем, что они открывают общий подход к получению утверждений типа теоремы Гротендика, и во-вторых, в силу двойственности, которой в $C_p$-теории связаны вложения и непрерывные отображения топологических пространств. Их применения к $C_p$-теории, а также общий подход к обобщениям теоремы Гротендика, также рассмотрены в диссертации. Дисертация Х.П. Дельгадильо содержит не только общие теоремы, но и примеры, иллюстрирующие их окончательность.