Аннотация:Пусть $A$ и $B$ --- компакты на комплексной плоскости ${\bf C}$. Напомним, что хаусдорфовым
расстоянием или метрикой между ними называется величина $\rho_H(A,B):=\inf \{\varepsilon\}$, где
инфимум берется по всем таким $\varepsilon>0$, что множества $A$ и
$B$ находятся в евклидовых $\varepsilon$-окрестностях друг друга. В $1897$ году Д. Гильберт доказал, что любую замкнутую кривую $\Gamma$ из ${\bf C}$ можно с любой точностью так приблизить связной лемнискатой $L(P_n,C):=\{z:~|P_n(z)|=C\}$ ($C=\rm const$) некоторого комплексного многочлена $P_n$ в хаусдорфовой метрике, что сама эта кривая лежит в замыкании ограниченной этой лемнискатой области. Эта теорема является качественной и не позволяет получить количественные оценки такого приближения.
Курсовая работа A.\,В.\,Арзумановой, как следует из её названия, посвящена количественным оценкам уклонений $\rho_H(L(T_n,1),\,[-1;\,1])$ лемнискат $L(T_n,1)$ многочленов Чебышёва первого рода $T_n(z)$ от отрезка $[-1;\,1]$ в зависимости от степени $n$ этого многочлена.
В частности, она доказала асимптотическое равенство
$$\rho_H(L(T_n,1),\,[-1;\,1])=\frac{\ln\left(1+\sqrt{2}\right)}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right), \quad n\to\infty.$$
Доказательство основного результата курсовой работы верно и написано понятным и строим языком. Работа снабжена поясняющими иллюстрациями. Она представляет интерес для специалистов в области комплексного анализа и теории приближений.