Аннотация:В выпускной квалификационной работе А.\,А.\,Давтяна изучаются спектральные свойства оператора $Q$, возникающего при описании связанных состояний пары кварк--антикварк (модель Хоофта).
Задача на собственные значения этого оператора выглядит следующим образом
\begin{gather}
\label{g:1}
Qu:=-\text { p.v. } \int_{0}^{1} \frac{u(y)}{(x-y)^{2}} d y+\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{1-x}\right) u(x)=\lambda u(x), 0<x<1\\
\label{g:2}
u(0)=u(1)=0,
\end{gather}
с областью определения $\mathcal D(Q)= \mathring W^1_2[0;1]$. Этот оператор возникает как расширение по Фридрихсу
минимального симметрического оператора, заданного выражением \eqref{g:1} и областью определения $C^\infty_0[0;1]$.
Получены следующие результаты:
1) Рассмотрен минимальный симметрический оператор, порожденный выражением \eqref{g:1} и областью определения
$C^\infty_0[0;1]$. Построено расширение по Фридрихсу указанного оператора.
2) Показано, что в случае невозмущенного оператора ($a=b=0$) функции $\sin(\pi n x)$ ведут
себя почти как собственные функции оператора $Q$ в том смысле, что
$\|Q\sin\pi nx-\pi^2 n\sin\pi nx\|_{L_2}=o(n)$.
3) Показано, что для невозмущенного оператора для всякого $\varepsilon\in(0;1/2)$ на отрезке
$[\varepsilon;1-\varepsilon]$ выполнена равномерная сходимость для образов синусов:
$\sup_{[\varepsilon,1-\varepsilon]}\left|\frac{Q\sin\pi nx-\mu_n \sin\pi n x}{\lambda_n}\right|
\rightarrow 0$, где $\mu_n$ --- собственные значения функций $\sin\pi nx$ на всей оси.
4) Для собственных функций $f_n$ получено представление $f_n=\sin\pi nx+g_n$,
где для функций $g_n$ в норме $L_2[0;1]$ справедлива оценка $\|g_n\|=O(\sqrt{N})$. Есть основания полагать, что
эту оценку можно улучшить.
Эти результаты позволяют новым методом получить асимптотику собственных значений невозмущенного оператора:
$\lambda_n\sim \pi^2 n$, $n\to\infty$.