|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных |
||
Проблема Штейнера в пространствах с евклидовой метрикой Громова-Хаусдорфадипломная работа (Специалист)
- Научный руководитель: Тужилин А.А.
- Автор: Малышева О.С.
- Тип: Специалист
- Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Год защиты: 2019
- Аннотация: Дипломная работа О.С.Малышевой посвящена изучению геометрии метрического пространства компактных подмножеств n-мерного евклидова пространства, рассматриваемых с точностью до движения, сохраняющего ориентацию объемлющего пространства. В качестве метрики выбирается модифицированная метрика Громова-Хаусдорфа, а именно, расстоянием между двумя классами называется наименьшее расстояние по Хаусдорфу между их представителями. Расположение двух изометричных копий компактов, для которого достигается модифицированное расстояние Громова-Хаусдорфа, называется оптимальным. В работе изучаются как общие свойства полученного метрического пространства, так и ряд оптимизационных задач, возникающих в этом пространстве. Приведем основные результаты работы. – Доказывается, что каждый компакт C, расположенный в смысле расстояния Хаусдорфа между компактами A и B, находящимися в оптимальном положении, также находится в оптимальном положении по отношению и к A, и к B. Последнее позволяет строить новые примеры пар компактов в оптимальном положении по уже известным таким парам. – Показано, что у ориентированно подобных компактов в оптимальном положении совпадают чебышевские центры, а модифицированное расстояние Громова-Хаусдорфа равно модулю разности чебышевских радиусов. В частности, это дает полное описание оптимального расположения двух шаров. – Выяснено, что рассматриваемое пространство является ограниченно компактным (каждый замкнутый шар в нем компактен). – Доказано, что в ограниченно компактном пространстве каждый метрический сегмент (множество всех точек, находящихся между двумя данными) компактен. В частности, это имеет место в рассматриваемом метрическом пространстве. – Показано, что в рассматриваемом метрическом пространстве можно реализовать любой треугольник. – Приведены различные примеры пар компактных подмножеств и описаны их оптимальные положения. Среди таких пар: любое компактное подмножество X и одноточечное (в оптимальном положении одноточечное должно находиться в чебышевском центре X); пара двухточечных компактов (в оптимальном положении они находятся на одной прямой, а их середины – чебышевские центры - совпадают); трехточечное и двухточечное подмножества (здесь ситуация намного сложнее, в частности, показано, что чебышевские центры компактов совпадать не обязаны – построен соответствующий пример); шар полной размерности и отрезок (приведено описание всех оптимальных положений); замкнутые окрестности, вообще говоря разных радиусов, двух отрезков (ситуация полностью описана и показано, что семейство орбит окрестностей отрезков изометрично углу на плоскости с метрикой, заданной макс-нормой). – Показано, что для каждой границы, составленной из окрестностей отрезков, существует минимальное дерево Штейнера, внутренние вершины которого тоже являются окрестностями отрезков, причем каждое такое дерево представляет собой минимальное заполнение своей границы.
- Добавил в систему: Тужилин Алексей Августинович