Описание:ПРОГРАММА:
1. Аксиомы теории множеств ZFC. Ординалы, кардиналы. Модели теории множеств.
2. Порядок, лемма Цорна. Фильтры и ультрафильтры, существование неглавных ультрафильтров.
3. Топология на языке ультрафильтров: отделимость, непрерывность, компактность, теорема Тихонова.
4. Пространство ультрафильтров. Стоун-чеховское расширение. Продолжение операции умножения с полугруппы S на ее стоун-чеховское расширение βS.
5.Основные свойства βN\N. Теорема Хиндмана. Существование нетривиальных топологий на группах и кольцах.
6. Идеалы в полугруппах ультрафильтров. Теорема ван дер Вадена об арифметических прогрессиях.
7. Теорема Хейлса–Джеветта и её следствия. Теорема Рамсея. Теорема Шура.
8. Теорема компактности для разбиений. Конечные версии теорем Хиндмана, ван дер Вардена, Рамсея и Шура. Теорема Радо.
9. Минимальные идеалы и идемпотенты в полугруппах. Коидеалы в булевой алгебре множеств.
10. Семейства, определённые множествами ультрафильтров. Семейства, регулярные относительно разбиений.
11. Большие множества в полугруппах. Толстые, синдетические и кусочно синдетические множества. Комбинаторные теоремы для кусочно синдетических множеств.
12. Топологическая динамика: основные понятия и примеры. Динамические системы.
13. Динамические системы в βS. Множества возврата и рекуррентные точки.
14. Минимальность и рекуррентность в дискретных динамических системах и системах сдвига и кусочно синдетические множества.
15. Рамсеевские и селективные ультрафильтры, их существование. Порядок Рудин–Кейслера. Классы ультрафильтров на N в контексте порядка Рудин–Кейслера. Минимальность селективных ультрафильтров.
16. Основные классы ультрафильтров на N. Селективные ультрафильтры, P-ультрафильтры, Q-ультрафильтры и быстрые ультрафильтры. Связь с идемпотентами. (Не)сохранение операциями тензорного произведения и сложения ультрафильтров.
17. Ультрапроизведения. Основные конструкции нестандартного анализа.