|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных |
||
Топологическая алгебра: топологические группы и другие алгебраические системы с топологиейучебный курс
- Автор: Сипачева О.В.
- Год создания: 2014
- Организация: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Описание: Цикл лекций на 14-й Летней школе "Современная математика", Дубна, 2014 Website: http://www.mccme.ru/dubna/2014/courses/sipacheva.htm Программа курса 1. Топологические пространства, непрерывные отображения, группы и топологические группы. Существование групповых топологий. 2. Мощность множества. Кардиналы и ординалы. Взаимоотношение между существованием групповых топологий и существованием решений систем уравнений в группах. 3. Операции на топологических пространствах. Свободные топологические группы. 4. Топологические векторные пространства и другие тополого-алгебраические системы. Функциональные пространства. Некоторые нерешенные проблемы. Аннотация: Герман Вейль уверял, что за душу каждой математической области борются ангел топологии и дьявол абстрактной алгебры. Для тех, кому любопытно посмотреть, что выйдет из встречи этих двоих в мирной обстановке, придумана топологическая алгебра. Чтобы получить самое грубое и приблизительное представление об алгебре, надо понять, что останется от арифметики, если забыть о числах. Каждый школьник прикасается к абстрактной алгебре, когда преобразует буквенные выражения. Алгебра – это наука о множествах с операциями, а группа (один из центральных объектов алгебры) – множество, на котором определены две операции (умножение и взятие обратного элемента). Топология получается из геометрии, если забыть об измерениях (т.е. о разнице между чашкой и бубликом). Центральное понятие топологии – непрерывность. Разумеется, чтобы можно было говорить о непрерывности отображения, надо снабдить отображаемые множества некоторой структурой (системой подмножеств) – топологией. В школе неявно рассматривается топология на прямой, определяемая расстоянием, но на самом деле можно определять самые разные топологии на любых множествах – определение топологии накладывает на неё очень слабые условия. Как нетрудно догадаться, топологическая алгебра (не путать с алгебраической топологией!) занимается изучением множеств с непрерывными операциями, и самый первый вопрос, который приходит в голову – а всегда ли операции можно сделать непрерывными? В частности, на всякой ли группе можно ввести нетривиальную топологию так, чтобы умножение и взятие обратного элемента были непрерывными? У этой чрезвычайно трудной задачи есть очень изящное решение (контрпример). Оно основано на весьма сложных вещах – существовании бесконечной конечно порождённой группы, в которой каждый элемент имеет конечный порядок, однако само рассуждение в высшей степени просто и элегантно. Оно будетизложено в курсе. Будут обсуждаться и другие направления топологической алгебры (главным образом, теории топологических групп, но не только), в частности, естественно возникающие в ней теоретико-множественные проблемы. От слушателей требуется свободное владение основными математическими понятиями в рамках программы начальной школы. Приветствуется (но не требуется) знакомство с понятием непрерывной функции.
- Добавил в систему: Сипачева Ольга Викторовна
Преподавание курса
- 19 июля 2014 - 30 июля 2014 Сипачева Ольга Викторовна
- МГУ имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, Отделение математики, Кафедра общей топологии и геометрии
- факультативная, лекции, 8 часов
- Автор: Сипачева О.В.