Описание:Дается введение в современную комбинаторную теорию матриц и теорию неотрицательных матриц. Описаны их приложения в разнообразных прикладных проблемах. Будет предложен ряд открытых проблем и задач для студентов.
Программа курса: Матрица инцидентности. Теорема Холла. Функция перманента и ее свойства. Перманенты (0,1)-матриц. Матрицы и графы. Неразложимые матрицы и их графы. Теорема Фробениуса о канонической форме. Индекс импримитивности матрицы. Примитивные матрицы и их свойства. Экспоненты примитивных матриц. Теорема Виланда о верхней оценке экспоненты. Обобщение теоремы Виланда о верхней оценке экспоненты на случай семейств матриц. Латинские квадраты. Частичные трансверсали. Теорема о существовании трансверсалей. Теорема Амицура-Левицкого и ее комбинаторная интерпретация. Доказательство теоремы Амицура-Левицкого. Открытые проблемы и гипотезы.