Описание:Курс посвящен исследованию максимальных коммутативных подалгебр матричной алгебры максимальной и минимальной размерностей. Показано, как в этой теории применяется весь аппарат современной теории колец.
Программа курса: Теорема Шура о максимальном числе линейно независимых попарно коммутирующих матриц. Линейно-алгебраический метод доказательства теоремы Шура. Кольцевая переформулировка теоремы Шура. Артиновы и нетеровы кольца и модули. Инъективные и проективные модули. Инъективная оболочка модуля. Теорема Веддерберна-Артина. Теорема Нильсена-Шрайера. Локальные кольца. Радикал Джекобсона. Лемма Накаямы. Разложение Пирса. Теоретико кольцевой метод доказательства теоремы Шура. Доказательство Густавсона. Коммутативные подалгебры максимальной размерности в алгебре матриц и их характеризация. Максимальные по включению коммутативные подалгебры в алгебре матриц и нижние оценки их размерности. Гипотеза Герштенхабера. Пример Куртера. BN-конструкции. Реализация примера Куртера, как BN-конструкция. Теорема Брауна и Колла. B1-конструкция и примеры подалгебр, ей соответствующие. Теорема Лаффея. Гипотеза Густавсона о длине композиционного ряда максимальных коммутативных подалгебр. Открытые вопросы и гипотезы.