Описание:Содержание спецкурса:
1. Матрица Якоби гладкого отображения.
2. Переход от одной системы координат к другой имеет ненулевой якобиан.
3. Любые два атласа на многообразии имеют третий атлас карт, измельчающий первые два атласа.
4. Объединение атласов карт тоже является атласом карт. Найти функции перехода координат.
5. Окружность $\mathbb{S}^1\in \mathbb{R}^2$, задаваемую уравнением
$x^2+y^2=1$ является многообразием.
6. Описать атлас карт окружности с полярными координатами.
7. Какое двумерное многообразие можно описать с полярными координатами
8. Является ли евклидово пространство $\mathbb{R}^n$ многообразием?
9. График функции на многообразии является многообразием.
10. Атлас карт на $n$-мерной сфере $\mathbb{S}^n$.
11. Минимальный атлас карт на $n$-мерной сфере $\mathbb{S}^n$.
12. Атлас карт на $n$-мерном проективном пространстве $\mathbb{RP}^n$
13. Атлас карт на двумерном торе $\mathbb{T}^2$.
14. Декартово произведение многообразий.
15. Класс гладкости многообразий. Класс гладкости отображений.
16. Атлас карт, не имеющий гладкой структуры.
17. Инвариантность размерности гладкого многообразия.
18. Критерий когда множество уровня гладкой функции является подмногообразием.
19. Регулярное значение гладкого отображения многообразий. Прообраз регулярного значения.
20. Инвариантная формулировка теоремы о неявной функции.
21. Группа $\mathbb{GL}(n,\mathbb{R})$ является гладким многообразием.
22. Группа $\mathbb{SL}(n,\mathbb{R})$ является гладким многообразием.
23. Группа $\mathbb{O}(n)$ является гладким многообразием.
24. Группа $\mathbb{SO}(n)$ является гладким многообразием.
25. Группа $\mathbb{U}(n)$ является гладким многообразием.
26. Касательный вектор в точке многообразия. Три определения.
27. Касательное пространство в точке многообразия $\mathbb{T}_x(M)$.
28. Касательное расслоение к многообразию $\mathbb{T}(M)$.
29. Касательный вектор в точке многообразия как тензор.
30. Касательный вектор в точке многообразия как вектор скорости кривой.
31. Касательный вектор в точке многообразия как оператор дифференцирования.
32. Дифференциал гладкого отображения многообразий.
33. Разбиение единицы, подчиненное покрытию.
34. Теорема Уитни о вложении многообразия в $\mathbb{R}^N$.
35. Лемма Сарда.
36. Теорема Абрагама.
37. Функции Морса.Теорема существования функции Морса.
38. Локально тривиальные расслоения.
39. Координатные гомеоморфизмы расслоения.
40. Функции склейки как коцикл.
41. Построение тотального пространства расслоения по функциям склейки.
42. Когомологичные коциклы функций склейки.
43. Нетривиальность расслоения листа Мебиуса.
44. Структурная группа локально тривиального расслоения.
45. Главные $G$-расслоения. Эквивариантность тотального пространства главного $G$-расслоения.
46. Эквивариантное отображение тотальных пространств главных расслоений индуцирует отображение баз.
47. Ограничение расслоения с базы $B\times [0,1]$ на $B\times\{t\}$ не зависят от $t$.
48. Если функции склейки $\varphi_{\alpha\beta}(x)$ и $\psi_{\alpha\beta}(x)$ являются гомотопными друг другу в классе функций склеек, то тогда соответствующие расслоения изоморфны.
49. Векторные расслоения. Структурные группы векторных расслоений.
50. Операция прямой суммы векторных расслоений.
51. Операция тензорного произведения векторных расслоений.
52. Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность операций векторных расслоений.
53. Внешняя степень $\Lambda_{k}(\xi)$ векторного расслоения $\xi$.
54. Производящая функция для внешних степеней $\Lambda_{t}(\xi)$ векторного расслоения $\xi$.
55. Векторное расслоение $\HOM (\xi_{1},\xi_{2})$.
56. Послойное скалярное произведение для векторного расслоения. Теорема существования.
57. Теорема о редукции структурной группы $\mathbb{GL}(n,\mathbb{R})$ к подгруппе $\mathbb{O}(n)$.
58. Комплексные векторные расслоения. Комплексификация. Овеществление.
59. Теорема классификации главных $G$-расслоений.
60. Аксиома о накрывающей гомотопии.
61. Точная гомотопическая последовательность.
62. Вычисление гомотопических групп классических матричных групп.
63. Построение классификационных пространств.
64. Понятие характеристического класса векторного расслоения.
65. Описание характеристических классов векторных расслоений в терминах когомологий классифицирующих пространств.