|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных |
||
Курс математического анализа (первый семестр)учебный курс
- Авторы: Бегунц А.В., Шапошников С.В.
- Год создания: 2016
- Организация: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Дистанционный курс
- Описание: Курс математического анализа занимает центральное место среди математических дисциплин и по праву считается квинтэссенцией современного математического знания. Слушатель этого курса знакомится практически со всеми идеями современной математики в их простейшей и самой наглядной форме, оттачивает мастерство логических рассуждений и разбирается с глубокими и многоуровневыми математическими построениями. Математический анализ является результатом творчества таких выдающихся ученых как И.Ньютон, Г.Лейбниц, Я.Бернулли, Л.Эйлер, Ж.Л.Лагранж, П.Ферма, О.Л.Коши, К.Вейерштрасс, А.Л.Лебег и многих других. С каждым из этих имен связаны не только математические результаты, но и значительные общекультурные достижения. Представляемый курс ориентирован, прежде всего, на студентов первых курсов математических и естественнонаучных факультетов, но, несомненно, будет интересен широкому кругу профессионалов и любителей математики. Помимо стандартных тем, составляющих содержание курса математического анализа в первом семестре первого курса, мы затронем также ряд красивых и глубоких результатов, являющихся настоящими жемчужинами современной математики. В начале курса мы познакомимся с элементами теории множеств, обсудим известные математические парадоксы, научимся применять математическую индукцию и узнаем одну из самых трудных аксиом современной математики – аксиому выбора. Далее мы введем понятие функции и отдельно остановимся на специальном классе функций – биекциях, научимся сравнивать бесконечные множества и докажем знаменитую теорему Кантора—Бернштейна. Основным множеством, с которым мы будем иметь дело в нашем курсе, является множество вещественных чисел, различные определения и свойства которого будут подробно обсуждаться. Затем изучим сходимость числовых последовательностей и числовых рядов, определим знаменитое число «е». Важную часть курса составляют элементы топологии числовой прямой. Здесь будут обсуждаться свойства и структура открытых и замкнутых множеств, в простейшем виде мы познакомимся с мощнейшим средством математического анализа – теоремой Бэра. Предел функции и непрерывность функции являются центральными разделами нашего курса математического анализа. Наряду со стандартными утверждениями о непрерывных функциях, мы особое внимание уделим описанию свойств множества точек разрыва функции. Далее будут рассмотрены функциональные последовательности и ряды: мы сравним поточечную и равномерную сходимость, покажем, что равномерная сходимость сохраняет непрерывность, докажем известную теорему Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленом. Заключительный раздел курса посвящен дифференциальному исчислению. Мы познакомимся с классическим примером Вейерштрасса непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции, выясним, насколько «плоха» может быть производная всюду дифференцируемой функции, докажем классический набор теорем Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши, обоснуем правило Лопиталя и научимся раскладывать функции по формуле Тейлора, наконец, рассмотрим важный класс выпуклых функций. В курсе также будут представлены исторические справки о знаменитых ученых, с идеями и результатами которых мы будем знакомиться.
- Добавил в систему: Бегунц Александр Владимирович