ИСТИНА

Действительное банахово пространство X таково, что для любого набора {x_1, …, x_n} из n (n>=3) точек множество st(x_1, …, x_n) ближайших к ним по сумме расстояний непусто. В пространстве X^n, в котором в качестве нормы элемента выбрана сумма норм его компонент в исходном пространстве X, рассматривается отображение Штейнера st_n, сопоставляющее набору {x_1, …, x_n} множество st(x_1, …, x_n). По результату Кахана, в евклидовой плоскости отображение st_3 липшицево, а для остальных нечетныx n>=5 отображение st_n не липшицево. Приведен результат для четного n>=4, утверждающий, что в рефлексивном пространстве X, сфера которого содержит достижимую точку гладкости, отображение st_n не имеет липшицевых выборок. Для конечномерного пространства липшицевы выборки из st_n отсутствуют, если единичный шар пространства не является конечным многогранником. Приведен результат для нечетного n>=5, выделяющий класс рефлексивных пространств (куда входят конечномерные гладкие и строго выпуклые пространства), в котором однозначное отображение st_n не является липшицевым.