ИСТИНА

Найдены двухпараметрические семейства брахистохрон в поле сил тяжести при действии сухого трения, либо при одновременном действии вязкого трения и разгоняющей силы. Задача сведена к стандартной задаче оптимального управления по быстродействию. Получена формула оптимального управления и система уравнений движения с дополнительной переменной, не содержащая особенности при нулевой скорости. Показано, что касательная к оптимальной траектории вертикальна в начальной точке. Доказаны свойства оптимальных кривых, в том числе свойство выпуклости и свойство автомодельности, позволяющее получать все оптимальные траектории путем масштабирования некоторого их подмножества.