ИСТИНА

Обсуждается феномен, связанный с движением центра кривизны фронта волны, распространяющейся в неоднородной среде: зависимость скорости движения центра кривизны от радиуса кривизны определяется законом, аналогичным известному закону Хаббла. Фронт как параметризованное (параметром является время $t$) семейство поверхностей $\Gamma_t$ задается в виде $t=\psi(x,y,z)$, где функция $\psi$ является решением {\em уравнения эйконала} $\psi_x^2+\psi_y^2+\psi_z^2=1/v^2(x,y,z)$. Семейство $\Gamma_t$ можно получить как сдвиг некоторой начальной поверхности $\Gamma_0$ вдоль траекторий системы $$\dot r=v(r) \nu,\qquad \dot \nu=-\nabla v(r)+(\nabla v(r),\nu)\nu. (1)$$ Здесь $r=(x,y,z)$, $v(r)=v(x,y,z)$ -- функция, фигурирующая в правой части уравнения эйконала, $\nabla v$ -- ее градиент, $\nu(t)$ -- единичный вектор касательной к кривой $r(t)$. Будем говорить, что поверхность $\Gamma$ в\,п\,о\,л\,н\,е \,р\,е\,г\,у\,л\,я\,р\,н\,а в некоторой точке, если она является дважды непрерывно дифференцируемой и удовлетворяет, помимо обычного условия регулярности (возможность задания регулярных локальных координат), условию конечности в этой точке всех нормальных кривизн. {\bf Теорема.} {\em Пусть $v:{I\!\!R }^3\to{I\!\!R }^1$ -- произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция, $\nabla v$ -- ее градиент, $D^2v$ -- матрица ее вторых производных. Пусть $(x,y,z)$ -- некоторая точка в пространстве, $\Gamma$ -- проходящая через эту точку вполне регулярная в окрестности этой точки поверхность (фронт), $\nu$ и $h$ -- нормальный и некоторый касательный к $\Gamma$ в точке $(x,y,z)$ единичные векторы, $R_h$ и $\varepsilon_h$ -- радиус нормальной кривизны и геодезическое кручение фронта в этой точке, отвечающие направлению $h$. Тогда для точки $(x,y,z)$ фронта скорость движения $\dot r_h^*$ соответствующего центра нормальной кривизны $r_h^*$ при сдвиге $\Gamma$ вдоль лучей (1) определяется формулой $\[\dot r_h^*=R_h \cdot\nabla v(x,y,z)+R_h^2\cdot [ \varepsilon_h^2v(x,y,z)-(D^2\!v(x,y,z)\cdot h,h)]\nu.\]$} Таким образом, скорость движения центра кривизны выражается через радиус кривизны линейно-квадратичным образом. Коэффициенты в этом выражении не зависят от радиуса кривизны, а определяются локальным поведением функции функции $v$ вблизи $(x,y,z)$ и выбором нормального сечения фронта.