ИСТИНА

Разработан аналитический алгоритм нахождения частот нелинейных колебаний консервативной системы с двумя степенями свободы вблизи её устойчивого положения равновесия. Предполагалось, что в системе нет резонансов до четвертого порядка включительно, т.е. отношение частот малых линейных колебаний не равняется единице, двум или трём. В качестве приложения рассмотрена задача о нелинейных колебаниях материальной точки на неподвижной абсолютно гладкой поверхности в однородном поле тяжести; указана оценка меры колмогоровского множества начальных условий, для которых движение точки является условно-периодическим. Рассмотрена также нелинейная консервативная система, в которой отсутствуют резонансы любого порядка. Система представляет собой маятник, образованный двумя скрепленными шарниром тонкими стержнями одинаковой длины и веса. Изучен характер нелинейных колебаний этого маятника в окрестности его устойчивого равновесия на вертикали. На этапе предварительного проектирования многих машин и механизмов инженеру-конструктору важно заранее, до проведения дорогостоящих (а часто и совсем невозможных) экспериментов, знать, как может зависеть динамика проектируемой системы от её параметров. В докладе приведены явные формулы для частот нелинейных колебаний автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы с точностью до второй степени включительно относительно начальных отклонений системы от её устойчивого положения равновесия. В случае консервативной системы, представляющей собой материальную точку, движущуюся по неподвижной абсолютно гладкой поверхности в однородном поле тяжести, изучен характер нелинейных колебаний в предположении об отсутствии резонансов до четвёртого порядка включительно. Дано приближенное аналитическое представление колмогоровского множества условно-периодических колебаний и указана оценка меры этого множества. В качестве конкретного примера нерезонансной задачи исследованы нелинейные колебания двойного маятника в окрестности его устойчивого равновесия на вертикали. Показано, что для большинства начальных условий движение маятника является условно-периодическим, а относительная мера множества, дополнительного к этому большинству, экспоненциально мала. Анализ проводится при помощи классических и современных методов теории возмущений (Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И., Moser J.K.). При проведении необходимых вычислений используются преобразование Биркгофа Дж.Д. и его модификации (Giacaglia G.E.O, Nayfeh A.X.), удобные для применения методов компьютерной алгебры.