ИСТИНА

А.Т.Фоменко и Х.Цишанг разработали эффективный топологический подход к изучению интегрируемых гамильтоновых систем. Вместо того чтобы изучать системы с точностью до траекторной эквивалентности, было предложено изучать их до так называемой лиувиллевой эквивалентности – послойного диффеоморфизма замыканий почти всех решений. Инвариантом такой эквивалентности выступает так называемая меченая молекула – инвариант Фоменко Цишанга, который является графом Кронрода-Риба, снабженным следующей дополнительной информацией. Во-первых, это типы перестроек лиувиллевых торов, так называемые атомы, а во-вторых, некоторые числа, кодирующие склейку граничных торов лиувилля указанных атомов. Вычисление данного инварианта, несмотря на всю трудоемкость, оказалось весьма полезным. В качестве одного из ярких результатов упомянем установленную эквивалентность (в указанном выше смысле) системы Якоби и волчка Эйлера. Данный подход оказался весьма эффективным для описания слоений Лиувилля интегрируемых биллиардов, ограниченных дугами софокусных квадрик, а также биллиардных книжек (клеточных комплексов, двумерные клетки которых являются плоскими биллиардами, а одномерным приписаны циклические перестановки). Звенья траекторий таких биллиардов лежат на прямых, касательных к некоторой квадрике, принадлежащих к тому же семейству, что и квадрики, дуги которых образуют границу биллиарда. Наибольший интерес в изучении слоений таких биллиардов представляют бифуркации торов Лиувилля, возникающие на особом фокальном слое, т.е. на слое, где траектории (или их продолжения), проходят через фокусы семейства квадрик. Если рассматривать биллиардные книжки, листы которых не содержат фокусов, то возникающий класс бифуркаций совпадает со всем классом бифуркаций, возможных в невырожденных интегрируемых гамильтоновых системах. Тем не менее, если потребовать наличие фокусов в листах биллиардной книжки, то картина существенно меняется. В докладе будет представлен новый результат, а именно, описан класс возникающих бифуркаций для биллиардных книжек, склеенных из областей A1, которая представляет собой выпуклую часть плоскости, ограниченную дугой гиперболы и дугой эллипса. Оказалось, что в этом случае бифуркации лиувиллевых торов послойно гомеоморфны максимально симметричным атомам.