ИСТИНА

Изучение случайных разбиений пространства составляет значительный класс проблем теории геометрических преобразований. Ричард Майлз в 1972 году вычислил моменты площадей и периметров любого порядка (в том числе, математические ожидания) случайного разбиения пространства. В данном докладе мы вычислим полную функцию распределения случайных разбиений плоскости пуассоновским процессом прямой. Идея состоит в том, чтобы интерпретировать случайный многоугольник как эволюцию отрезка вдоль движения прямой. В примере с плоскостью проблема, связанная с бесконечным числом параметров, преодолевается путем рассмотрения секущей. Мы рассмотрим следующие задачи: 1. На плоскости задан случайный набор прямых, все сдвиги равновероятны, а закон распределения имеет вид F(φ). Каково распределение площадей (периметров) компонентов разбиения? 2. На плоскости отмечен случайный набор точек. С каждой точкой A связана область, представляющая собой набор точек на плоскости, к которым точка A является ближайшей из множества отмеченных. В первой задаче плотность перемещаемых участков, примыкающих к прямой, позволяет выразить коэффициент балансировки в кинетической форме. Точно так же можно написать кинетические уравнения периметров. Мы покажем, как свести эти уравнения к уравнению Риккати с помощью преобразования Лапласа.