ИСТИНА

{%\bf \Large В работе рассматриваются особенности доказательства результата, полученного в \cite{per_bib_1}. Классификация сферических многообразий хорошо изучена с точки зрения алгебры (особенно прост трёхмерный случай) \cite{per_bib_2}. М.М. Постников предложил вернуться к истокам и дать их геометрическое описание с помощью ячеек Дирихле-Вороного правильных систем точек на 3-сфере. Таких систем, которые являются орбитами дискретных групп, действующих без неподвижных точек \cite{per_bib_3}. Движения группы, переводящие ячейку в соседнюю по общей двумерной грани, одновременно отождествляют пары её граней, завершая таким образом геометрическое описание трёхмерных сферических многообразий. Среди всех пяти серий рассматриваемых многообразий Постников предъявил ячейку Дирихле-Вороного (для каждой из групп без неподвижных точек $C_{n} \times C_{m}$, $D_{n}^{*} \times C_{m}^{*}$, $T^{*} \times C_{m}^{*}$, $O^{*} \times C_{m}^{*}$, и $I^{*} \times C_{m}^{*}$)\footnote{$m$ выбирается так, чтобы перемножаемые группы не имели одинаковых операций, помимо тождественной и, возможно, центральной симметрии в $\mathbb{R}^4 \supset \mathbb{S}^3$. Звёздочкой ${}^*$ обозначено удвоение группы при отображении группы конечных фигур, действующей в $\mathbb{R}^3$, в группу клиффордовых сдвигов в $\mathbb{S}^3$. Группы $C_{n}$, или $C_{m}$ без звёздочки -- это циклические группы клиффордовых сдвигов в $\mathbb{S}^3$, имеющие порядок ${n}$, или ${m}$. Для таких групп прообразы, действующие в $\mathbb{R}^3$, очевидно, существуют только при чётных ${n}$, или ${m}$.} только в двух первых сериях: в т.н. "линзах" и "призмах". Для остальных трёх серий было приведено геометрическое описание для первых членов, а именно, для пространств октаэдра, усечённого куба и додекаэдра, а остальные случаи натолкнулись на вычислительные трудности \cite{per_bib_3}. Подход, применённый для описания ориентаций компонентов в двойниках и сростках кристаллов, позволил нам разобраться в идее и технике работы \cite{per_bib_3}, а также предъявить форму ячеек Дирихле-Вороного для каждой группы остальных трёх серий \cite{per_bib_4, per_bib_5} (см. Рис. 1 в \cite{per_bib_1}). Геометрия ячеек такова, что они имеют симметрию поворотов правильных трёх-, четырёх- и пятиугольных призм. Кроме того, ячейки отчасти напоминают призмы: каждая имеет по два основания (развёрнутые друг относительно друга вокруг вертикальной оси на угол, величиной равной толщине ячейки) и боковые грани. Данная работа посвящена подходам и методам, позволившим упростить описание формы ячеек Дирихле-Вороного в $\mathbb{S}^3$, а также схемы отождествлений их двумерных граней. 1. Наряду с описанием геометрии ячеек непосредственно в $\mathbb{S}^3$, рассматривались их проекции на касательную гиперплоскость $\mathbb{R}^3$. 2. Предложены обозначения винтовых поворотов по образцу применяемых в обозначениях 230 фёдоровских групп ($2_1, 3_1, 3_2, 4_1, 4_3, 5_1, 5_2, 5_3, 5_4$ и т.п.). Это было сделано, следуя методике, рекомендованной в \cite{per_bib_6} для идентификации винтовых поворотов: операцию возводят в степень, находя минимальный целый показатель, при котором результирующая операция превращается в параллельный перенос (который затем делится на величину этого показателя степени). В результате получаем вектор смещения вдоль винтовой оси и однозначное её обозначение в зависимости от величины поворотной составляющей и величины сдвига. В нашем случае вместо параллельного переноса в $\mathbb{R}^3$ мы добиваемся клиффордова сдвига в $\mathbb{S}^3$. В остальном методики сходны и позволяют применить обозначения для винтовых осей дискретных групп, действующих в $\mathbb{S}^3$, аналогичные применяемым в 230 фёдоровских группах. Это сильно упростило обозначения групповых операций и свело их количество от счётного множества к конечному числу (для серий $T^{*} \times C_{m}^{*}$, $O^{*} \times C_{m}^{*}$, и $I^{*} \times C_{m}^{*}$), а также позволило счётные множества этих групп свести к конечному числу их типов. Характер действия поворотов осей (в виде предложенных обозначений) сильно упростил подтверждение комбинаторного устройства исследуемых ячеек Дирихле-Вороного, а также позволил найти и удобно расклассифицировать карты отождествлений (какие пары граней отождествляются с помощью каких движений). При этом каждая из серий 1, 2a и 2b (см. Рис. 1 в \cite{per_bib_1}) распадается на две подсерии, в которых одинаковым образом отождествляются грани оснований и по одинаковому принципу --- боковые грани. Каждая из серий 3a и 3b распадается на четыре подсерии. Карты отождествлений призм (серия $D_{n}^{*} \times C_{m}^{*}$) естественным образом делятся на две подсерии (соответственно для конечного числа подсерий групп, имеющих сходные графические обозначения). } \smallskip \begin{thebibliography}{10} \bibitem{per_bib_1} Кучериненко~Я.~В, Макаров~В.~С. Задача М.М. Постникова о трёхмерных сферических многообразиях // XVIII Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории», посвященная 100-летию со дня рождения профессоров Б. М. Бредихина, В. И. Нечаева и С. Б. Стечкина.: тезисы докладов международной конференции (Тула, 23-26 сентября 2020 г.) --- Тула, 2020. С. 277-280., http://poivs.tsput.ru/conf/international/XVIII/files/Conference2020.pdf \bibitem{per_bib_2} Вольф~Дж. Пространства постоянной кривизны. --- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. 480 с. \bibitem{per_bib_3} Постников~М.~М. Трехмерные сферические формы // Труды МИАН СССР. 1991. Том~196. C. 114--146. English version: M. M. Postnikov~M.~M. Three-dimensional spherical forms// Proc. Steklov Inst. Math., 196 (1992), 129–-161. \bibitem{per_bib_4} Кучериненко~Я.~В., Макаров~В.~С. Геометрия бикристаллов и трёхмерные сферические многообразия //Материалы XII Международного семинара «Дискретная математика и её приложения» имени академика О.Б. Лупанова (Москва, 20-25 июня 2016 г.) --- М.: МГУ, 2016. С. 360-362. \bibitem{per_bib_5} Кучериненко~Я.~В., Макаров~В.~С. Теория двойников и сростков кристаллов как раздел четырехмерной кристаллографии // Труды XIII Всероссийской научной школы "Математические исследования в естественных науках" (Апатиты, 17 октября 2016 г.) --- Апатиты: Изд-во К\&M, 2016. С. 52-63. \bibitem{per_bib_6} Wondratschek~H. 8.1.5.Crystallographic symmetry operations // International Tables for Crystallography, 2006. Vol.~A,~Chapter~8.1. P. 720–725. \end{thebibliography} http://poivs.tsput.ru/conf/international/XXII/files/Conference2023S.pdf?v=3