ИСТИНА

Расчет магнитного поля в токамаке сводится согласно известной модели [1] к решению уравнения Грэда --- Шафранова $\Delta u (x) = a u (x) + b$, $x \in G$, с однородным условием Дирихле на границе $\Gamma = \partial G$. Здесь жорданова область $G$ с кусочно $C^{3, \alpha}$ гладкой границей $\Gamma$ представляет собой поперечное сечение торообразного потока плазмы в токамаке, $u (x)$ - ортогональная этому сечению компонента магнитного потенциала (остальные компоненты тождественно равны нулю). Основная трудность этой модели заключается в том, что параметры $a$ и $b$ уравнения заранее неизвестны, в связи с чем и возникает задача об их отыскании, называемая обратной задачей для рассматриваемого уравнения. В [2] постановка этой задачи была дополнена нелокальным условием $\int_\Gamma \partial_\nu u (x)\, ds = 1$, где $ds$ - элемент длины дуги $\Gamma$, а \partial_\nu$ -производная по внешней нормали к $\Gamma$. Это условие, физически означающее задание величины полного тока, связывает параметры $a$ и $b$ явно выписываемой зависимостью $b = b (a)$ и, тем самым, сводит рассматриваемую задачу к нахождению лишь параметра $a$. В настоящей работе предложена модифицированная формулировка обратной задачи для уравнения Грэда - Шафранова с нелокальным условием. Она заключается в нахождении параметра $a$ по считающемуся заданным значению нормальной производной $\partial_\nu u (x)$ в любой точке $x$ из специального подмножества $\widetilde{\Gamma}$ границы $\Gamma$. Для обратной задачи в такой формулировке установлены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости. Кроме того, разработан эффективный аналитико--численный метод ее решения, включающий алгоритм построения множества $\widetilde{\Gamma}$. После нахождения параметров $a$ и $b$ указанная выше задача Дирихле для уравнения Грэда - Шафранова вполне определена, и ее решение может быть найдено при помощи метода мультиполей [3], обеспечивающего высокоточное вычисление как самого решения $u (x)$, так и его нормальной производной на границе $\Gamma$. Эти результаты основаны на применении метода мультиполей и на использовании асимптотик [4] при $a \to \infty$ для величин $\partial_\nu u (x)$ и $\frac{d}{da}\, \partial_\nu u (x)$, $x \in \Gamma$. [1] M.Vogelius, An inverse problem for the equation $\Delta u = - cu - d$, Ann. Inst. Fourier. 1994. Vol. 44. \No 4. P. 1181--1204. [2] A.Demidov, On the inverse problem for the Grad - Shafranov equation with affine right-hand side, 2nd Conference on Inverse Proplems, Control and Shape Optimization. Carthage, Tunisie, April 10-12, 2002. Abstracts, P. 93-94. [3] В.И.Власов, Краевые задачи в областях с криволинейной границей, М.: ВЦ АН СССР, 1987. [4] A.S.Demidov, M.Moussaoui, An inverse problem originating from agnetohydrodynamics, Inverse Problems. 2004. Vol. 20. P. 137-154.