ИСТИНА

Пусть $g$ --- расположенная на комплексной плоскости $z$ жорданова область с кусочно--ляпуновской границей $\gamma$ без внешних и внутренних заострений. В $g$ рассматривается задача Римана --- Гильберта ${\rm Re} \big[h (z) p^+ (z)\big] = c (z)$, $z \in \gamma$, где коэффициент $h (z)$ и правая часть $c (z)$ задачи кусочно--гельдеровы с разрывами первого рода, а в некоторых точках границы $\gamma$ заданы условия степенного роста решения $p^+ (z)$. С помощью конформного отображения $z = \Phi (\zeta)$, $\zeta = \xi + i \eta$, полуплоскости $\mathbb{H}^+$ на $g$ эта задача сводится к аналогичной в $\mathbb{H}^+$ задаче ${\rm Re} \big[H (\zeta) P^+ (\zeta)\big] = C (\zeta)$, $\zeta \in \mathbb{R} \setminus \{\xi_k\}$, где $\{\xi_k\}_{k=0}^N$ - набор точек разрыва кусочно-гельдеровых $H (\zeta)$, $C (\zeta)$, $\xi_0 = \infty$, а $\{n_k\}$ - набор чисел из $\mathbb{Z}^+$, определяющих условия роста решения при $\zeta \to \xi_k$: $P^+ (\zeta) = O \bigl[(\zeta - \xi_k)^{\alpha_k - n_k}\bigr]$, если $n_k \not = 0$, и $P^+ = O (1)$, если $n_k = 0$, а в $x_0 = \infty$ - условию $P^+ (\zeta) = O (\zeta^{\alpha_0 + n_0})$, $\zeta \to \infty$. Здесь $\alpha_k$ - дробная часть величины $\pi^{-1}\, [{\rm arg} H (\xi_k + 0) - {\rm arg} H (\xi_k - 0)]$ при $k \not= 0$ и величины $\pi^{-1}\, [{\rm arg} H (+\infty) - {\rm arg} H (-\infty)]$ при $k = 0$; соответствующие целые части обозначаем $\varkappa_k$ и $\varkappa_0$. Пусть все $\alpha_k > 0.$ Теорема. {\bf (i) Если индекс $\varkappa := n_0 - \varkappa_0 + \sum_{k = 1}^K (\varkappa_k + n_k)$ неотрицателен, то решение поставленной задачи имеет вид $P^+ (\zeta)\, =\, X^+ (\zeta) \Bigl[\,P_\varkappa (\zeta)\, +\, (\pi i)^{-1}\, S (\zeta)\times $ $\times\int\nolimits_\mathbb{R}\, \tfrac {C (t)}{S (t)\,H (t)\, X^+ (t)\, (t - \zeta)} dt\,\Bigr], $ где $P_\varkappa (\zeta)$ --- произвольный полином степени $\varkappa$ с вещественными коэффициентами, $ X^+ (\zeta)\, :=\, \prod_{k = 1}^K\, (\zeta\, -\, \xi_k)^{-\varkappa_k - n_k}\, \exp[\,M^+ (\zeta)] $ - каноническое решение задачи, $$ M^+ (\zeta)\, :=\, \frac{\zeta - \delta}{\,\pi\,}\, \int\nolimits_{\mathbb{R}}\, \frac{\, \bigl[\pi / 2 - {\rm arg} H (t) \bigr]\, dt\, } {(t - \delta)\, (t - \zeta)}\,,\quad S (\zeta)\, :=\, (\zeta - \lambda)^{2 \{\varkappa / 2\}}\, (\zeta^2 + 1)^{\,[\, \varkappa / 2\,]}; $$ здесь $\delta,\, \lambda \in \mathbb{R}\setminus\{\xi_k\}$. } {\bf (ii)} Если $\varkappa = -1$, то единственным решением рассматриваемой задачи является функция $ P^+ (\zeta) = (\pi i)^{-1} X^+ (\zeta)\, \int\nolimits_{\mathbb{R}}\, C(t)\, \bigl[H (t)\, X^+ (t)\, (t - \zeta)\bigr]^{-1}dt\,. $ } \textsl{ Если $\varkappa<-1$ и выполняются условия разрешимости $ \int\nolimits_{\mathbb{R}} \tfrac{t^{k} C(t)}{ H (t) X^+ (t)} dt = 0$ при $k = 0,\, 1, \ldots,\, |\varkappa| - 2,$ то единственное решение задачи дается той же формулой. Если же $\varkappa<-1$ и условия разрешимости не выполнены, то эта задача не имеет решений.} Получив решение $P^+ (\zeta)$ в $\mathbb{H}^+$, восстанавливаем решение исходной задачи Римана --- Гильберта в $g$ по формуле $p^+ (z) = P^+ \circ \Phi^{-1} (z)$. Отметим, что эффективные вычислительные методы конформного отображения сложных областей изложены в ряде известных руководств, а также в [1]. [1] Безродных С.И., Власов В.И. Сингулярная задача Римана - Гильберта в сложных областях // Spectral and Evolution Problems. 2006. Т.16. С.51-61.