ИСТИНА

Диаметр $n$-мерного единичного куба равен $\sqrt{n}$, потому расстояние между двумя точками внутри единичных кубов может быть сколь угодно большим. Тоже самое верно, если мы рассматриваем расстояние от точки до подмножества объёма $1 - \varepsilon$ для некого $\varepsilon > 0$. Однако для двух подмножеств объёма $\varepsilon$ оценка $2.001\sqrt{\frac{-\ln \varepsilon}{\pi}}$ сверху на расстояние между ними становится верной при достаточно большом $n$ и достаточно малом $\varepsilon$. Мы также имеем оценки для других видов тел: для шара единичного объёма асимптотически корректной, т. е. в пределе, будет оценка $2\sqrt{-\frac{\ln \varepsilon}{\pi e}}$, для симплексов единичного объёма -- $c(-\ln \varepsilon)$ для некоторой константы $c > 0$, вычисление $c$ здесь представляется проблемным. Также имеются оценки снизу: для шара совпадает с оценкой сверху, для куба -- $0.8\sqrt{\frac{-\ln \varepsilon}{\pi}}$, для симплексов -- $\frac{\sqrt{2}}{e}(-\ln \varepsilon)$(имеют место при $n \to \infty$ и $\varepsilon \to 0$). Ключевую роль в установлении этих оценок играют обобщения изопериметрической проблемы на различные пространства и меры: подмножества заданного $n$-мерного тела в $\mathbb{R}^n$, поверхность $(n-1)$-мерной сферы, пространство с гауссовой мерой, и т.д. Также на нашем докладе мы коснёмся дискретного аналога вопроса и результата, установленного Ольгой Рыжовой, про изопериметрическую проблему на многомерной целочисленной решётке.