ИСТИНА

В рамках гарантированного детерминистского подхода к модели финансового рынка с дискретным временем (см. [1]) анализируются решения уравнений Беллмана-Айзекса, возникающих при суперхеджировании бинарного опциона европейского типа. На каждом временном шаге продавец опциона (хеджер) использует хеджирующую стратегию — формирует с учетом истории цен (в данном случае достаточно использовать текущую цену) позиции рисковому и безрисковому активам, с целью обеспечить полное покрытие обязательств в терминальный момент при любом допустимом сценарии поведения рынка. Основным математическим объектом в задаче суперхеджирования являются уравнения Беллмана-Айзекса, решения которых интерпретируется как объем резервов на текущий момент времени при известной предыстории цен, необходимый для полного покрытия обязательств по опциону в терминальный момент. Интерес к бинарному опцион обусловлен разрывностью функции выплат. Рассматривается мультипликативная модель, в которой торговые ограничения отсутствуют, а динамика дисконтированных цен рискового актива имеет вид где мультипликатор лежит в априорно заданном отрезке и. Эта задача рассматривалась в [2], где были получен ряд свойств решений и численный алгоритм. В настоящей работе получены новые аналитические свойства решения, позволяющие найти смешанную стратегию рынка, отвечающую игровому равновесию на каждом временном шаге, т.е. описывающую наиболее неблагоприятное для хеджера поведение рынка. Такой смешанной стратегии отвечает процесс цен, который в логарифмической шкале, как оказалось, хорошо аппроксимируется несимметричным случайным блужданием с двумя барьерами. Используя методы [3] доказано, что при стремлении числа шагов к бесконечности дискретный процесс цены при подходящей нормировке имеет предел в смысле слабой сходимости, которым является остановленное геометрическое броуновское движение с барьером, равным цене исполнения при экспирации опциона. Литература [1] Смирнов С.Н., Гарантированный детерминистский подход к суперхеджированию: модель рынка, торговые ограничения и уравнения Беллмана-Айзекса //Математическая теория игр и ее приложения (2018), 10, №4, с.59–99. [2] Смирнов С.Н., Заночкин А.Ю. Гарантированный детерминистский подход к суперхеджированию: свойства бинарного европейского опциона //Вестник ТвГУ (2020), Прикладная математика, №1, с.29–59. [3] Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер //М.: Наука – 1977.