ИСТИНА

В многомерных пространствах проявляется ряд различных феноменов, порой весьма странных. Например, объем $n$-мерного шара радиуса 2022 при $n\to\infty$ стремиться к нулю! Хотя диагональ $n$-мерного единичного куба равна $\sqrt{n}$, два множества объема $\varepsilon$ не могут отстоять друг от друга далеко – расстояние между ними не превосходит $C\cdot\sqrt{\ln(\varepsilon})$ при некоторой константе $C$ не зависящей ни от $\varepsilon$, ни от размерности. Для симплексов и многомерных октаэдров величину $C\cdot\sqrt{|\ln(\varepsilon)}|$ следует заменить на $C\cdot|\ln(\varepsilon)|$. C этими вопросами связана изопериметрическая задача: какую минимальную площадь поверхности может иметь тело заданного объема. (например, пространство $\mathbb{R}^n$, поверхность сферы, пространство $\mathbb{R}^n$ с гауссовой мерой, внутренность куба $(0;1)^n$). На этом вопросе, который и будет основным предметом этого курса, мы продемонстрируем ряд различных подходов. С дискретным вариантом изопериметрической задачи связан олимпиадный сюжет: в квадрате расставлены числа от 1 до $n^2$. Тогда найдутся две соседних клетки, в которых написаны числа, отличающиеся не менее чем на $n$, и его пространственные обобщения.