ИСТИНА

Тождеством алгебры A называется многочлен, тождественно обращающейся в ноль на ней. В коммутативных алгебрах выполняется тождество [x,y]=xy−yx=0, в алгебре матриц второго порядка - тождество [[x,y]2,z]=0 и т.д. Тождество g следует из набора fi если в любой алгебре где выполняется система тождеств fi выполняется тождество g. Проблема Шпехта состоит в том, что верно ли, что любая система тождеств в некоммутативном ассоциативном кольце следует из конечной подсистемы? Решение этой проблемы приводит к задачам комбинаторики слов (в том числе элементарным), к новой точки зрения на некоммутативную алгебраическую геометрию. Недавно А.Хорошкин, И.Воробьев и А.Я.Белов вывели из одного из версий доказательства гипотезу Гельфанда о нетеровости действия полиномиальных векторных полей без свободного члена на тензорных представлениях. Комбинаторное идейное ядро заключается в следующей элементарной задаче. Рассмотрим кольцо многочленов от двух переменных x,y. Рассмотрим подстановку x→P(x),y→P(y). Многочлен P один и тот же. Тогда любое подпространство, замкнутое относительно такой подстановки, выводится из конечной подсистемы (подстановками и линейными действиями). Ей и будет уделено основное внимание.