ИСТИНА

Теория 𝑆𝑈-бордизмов определяется с помощью стабильно комплексных многообразий с фиксированной специальной унитарной структурой в стабильном касательном расслоении. В отличие от хорошо известного кольца комплексных бордизмов 𝛺^𝑈 = Z[𝑎_𝑖, 𝑖 ≥ 1], кольцо 𝛺^𝑆𝑈 имеет кручение и сложную мультипликативную структуру — даже по модулю кручения оно не полиномиально. Вычисление этого кольца оказалось довольно сложной задачей, которая была решена усилиями многих математиков в 1960-ых годах (Новиков, Коннер, Флойд, Уолл, Стонг). В работе [1] Новиков ввёл в рассмотрение спектральную последовательность типа Адамса в комплексных кобордизмах (называемую с тех пор последовательностью Адамса–Новикова) и вычислил её для спектра 𝑀𝑆𝑈, задающего теорию 𝑆𝑈-бордизмов. С помощью этого подхода были получены практически все результаты о структуре кольца 𝛺^𝑆𝑈 . А именно, было получено описание кручения и образа гомоморфизма забывания 𝛺^𝑆𝑈 → 𝛺^𝑈 в терминах некоторой естественно возникающей подгруппы 𝒲 ⊂ 𝛺^𝑈, которая первоначально были введена в работах Коннера–Флойда и Уолла. Эта группа не является подкольцом в 𝛺^𝑈, но она может быть выделена как образ некоторого естественного проектора 𝜌: 𝛺^𝑈 → 𝛺^𝑈. Это позволяет определить умножение на 𝒲 как 𝑎 * 𝑏 = 𝜌(𝑎 · 𝑏), где · — умножение в 𝛺^𝑈. С помощью этого проектора определяется новая комплексно ориентируемая теория когомологий 𝒲*(𝑋) (см. Бухштабер [2]). Умножение 𝑎 * 𝑏 обладает тем свойством, что гомоморфизм забывания 𝛺^𝑆𝑈 → 𝒲 является кольцевым гомоморфизмом. Отсюда можно получить уже описание мультипликативной структуры 𝛺^𝑆𝑈/Tors. Интересно отметить, что исторически рассматривалось два проектора, выделяющих 𝒲: алгебраически определяемый проектор 𝜌, введённый в работах Коннера и Флойда, и геометрически определяемый проектор 𝜋, использованный Стонгом. Хотя эти проекторы определяют одно и то же умножение на 𝒲, нами было показано, что они всё-таки различны и имеют разные ядра. Изучение такого рода проекторов, определяемых ими мультипликативных структур, комплексных ориентаций теории 𝒲*(𝑋) и соответствующих формальных групп является одной из интересных тем дальнейшего исследования(см. [2]). Интересен вопрос о нахождении геометрических представителей образующих и других важных классов 𝑆𝑈-бордизмов. Например, можно показать, что кольцо 𝛺^𝑆𝑈/Tors в каждой градуировке 𝑖 > 1 содержит элемент 𝑦_𝑖 с минимально возможным 𝑠_𝑖-числом (согласно результату Новикова [3] эти элементы являются полиномиальными образующими кольца Z[1/2] ⊗ 𝛺^𝑆𝑈 = Z[1/2][𝑦_𝑖, 𝑖 > 1]). Нахождение геометрических представителей с данными 𝑠_𝑖-числами среди известных классов многообразий также представляет интерес. Например, компактные торические многообразия вовсе не могут быть 𝑆𝑈-многообразиями. Квазиторические 𝑆𝑈-многообразия представляют ноль в 𝛺𝑈 в размерностях меньше 10. В работе Лю и Панова [4] были построены серии квазиторических многообразий, линейные комбинации которых дают все возможные 𝑠-числа в размерностях, начиная с 10. В работе Лимонченко, Лю и Панова [5] было доказано, что все возможные 𝑠-числа 𝑆𝑈-многообразий получаются, если рассматривать двойственные к первому классу Чженя подмногообразия в произведениях комплексных проективных пространств и их линейные комбинации, в частности, достаточно только алгебраических многообразий Калаби-Яу (общая конструкция гиперповерхностей в торических многообразиях рассматривалась Батыревым [6] в связи с зеркальной симметрией). Также интерес представляет нахождение конкретных геометрически-наглядных представителей, хотя бы в малых размерностях. В размерности 4, например, образующая 𝑦_2 представляется 𝐾3-поверхностью. В размерности 6 в качестве представителя 𝑦_3 можно взять сферу 𝑆^6 с комплексной структурой однородного пространства 𝐺2/𝑆𝑈(3). Мы доказываем [7], что образующие ±𝑦3, ±𝑦4 в размерностях 6 и 8 представляются многообразиями Калаби–Яу. Кроме того, образующую 𝑦_4 можно представить комплексным грассманианом 𝐺𝑟(2, 4) с нестандартной стабильно комплексной структурой. Об этих вопросах и будет рассказано в докладе. Доклад основан на совместной статье [7] докладчика с И. Ю. Лимонченко и Т. Е. Пановым. Источники и литература [1] Новиков С. П. Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов Изв. Акад. Наук СССР, Сер. Мат. 31 (1967), вып. 4, 855–951 [2] Бухштабер В. М. Проекторы в унитарных кобордизмах, связанные с 𝑆𝑈-теорией. Успехи Мат. Наук 27 (1972), вып. 6, 231–232. [3] Новиков С. П. Гомотопические свойства комплексов Тома. Мат. Сборник 57 (1962), вып. 4, 407–442 [4] Lu, Zhi; Panov, Taras. On toric generators in the unitary and special unitary bordism rings. Algebr. Geom. Topol 16 (2016), no. 5, 2865–2893. [5] Лимонченко И. Ю., Жи Лю, Панов Т. Е. Гиперповерхности Калаби–Яу и 𝑆𝑈- бордизмы. Труды МИАН 302 (2018), 287–295 [6] Batyrev, Victor V. Dual polyhedra and mirror symmetry for Calabi–Yau hypersurfaces in toric varieties. J. Algebraic Geom. 3 (1994), no. 3, 493–535. [7] Лимонченко И. Ю., Панов Т. Е., Черных Г. С. 𝑆𝑈-бордизмы: структурные результаты и геометрические представители. Успехи Мат. Наук 74 (2019), вып. 3, принято к печати.