ИСТИНА

Эластография – это инновационный метод в онкологии, основанный на различиях упругих свойств здоровой и опухолевой ткани. Измеряя смещения биологических тканей при их поверхностном сжатии и находя по смещениям распределение упругих характеристик (например, модуля Юнга) в исследуемой области, можно сделать вывод о наличии там опухолей. Для такой диагностики в реальном времени требуется разработка адекватной математической модели и «быстрого» метода решения обратной задачи: по смещениям найти модули упругости. В докладе рассматривается модель сечений изучаемой ткани в приближении плоского деформированного состояния линейно-упругого изотропного тела в области . На границе действует поверхностная сила с плотностью , направленная вертикально вверх, а граница жестко закреплена. Упругие свойства ткани характеризуется модулем Юнга и постоянным коэффициентом Пуассона . Связь между горизонтальными и вертикальными смещениями ткани и ее модулями упругости определяется известной краевой задачей для системы уравнений в частных производных (см., например, [1]). Прямая задача квазистатической эластографии состоит в нахождении из краевой задачи смещений ткани по заданным модулям упругости. Обратная задача заключается в нахождении распределения модуля Юнга по известным вертикальным смещениям ткани. Решение обратной задачи на персональном компьютере занимает в зависимости от используемых сеток от десятков минут до часов. В докладе предлагается методика, позволяющая решать подобную задачу за миллисекунды на тех же сетках. Методика основана на том, что в рассматриваемой прямой краевой задаче имеется малый параметр , так что ее можно решить аналитически (при определенных предположениях) в рамках теории регулярных возмущений. Тогда связь вертикальных смещений и распределения модуля Юнга имеет вид . Это выражение использовано для приближенного решения прямой и обратной задачи. В работе приведено сравнение решения прямой задачи с помощью классических методов и метода малого параметра, а также решение модельной обратной задачи. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 18-11-00042). Литература 1. Leonov A.S, Sharov A.N, Yagola A.G. A posteriori error estimates for numerical solutions to inverse problems of elastography. // Inv. Probl. Sci. Eng. (2017) V.25.