ИСТИНА

В работе рассмотрены продольные колебания стержня, состоящего из $n$ участков с разными характеристиками. Расположим стержень на прямой и обозначим концы участков через $x_i,\quad i=0,1,\dots n$ таким образом , чтобы $i$-тый участок находился на отрезке $[x_{i-1},x_i]\quad i=1,2,\dots n$. На каждом участке стержень имеет постоянные характеристики: линейную плотность $\rho_i$, модуль Юнга $k_i$ и скорость распространения волн $a_i = \sqrt{k_i / \rho_i}$. Актуальной задачей является управление колебаниями, что подразумевает нахождение граничных управлений $\mu(t)$ и $\nu(t)$, переводящих систему из состояния покоя в состояние \[ u(x,T) = \phi(x) \qquad u_t(x,T) = \psi(x) \eqno{(1)} \] за конечный промежуток времени $T$. В силу того, что при достаточно большом значении $T$ такое управление неединственно, возникает вопрос о нахождении оптимального. В настоящей работе ищется управление, минимизирующее граничную энергию, задаваемую следующим выражением \[ \int\limits _{0}^{T}(\mu^{\prime}(\tau))^{2}+(\nu^{\prime}(\tau))^{2}\, d\tau \] когда управление производится с обоих концов, и следующим \[ \int\limits _{0}^{T}(\mu^{\prime}(\tau))^{2}\, d\tau \] когда управление происходит с левого конца, а правый закреплен: $\nu(t) \equiv 0$. Известно (см. [4]), что задача точного управления может быть решена для дискретной аппроксимации волнового уравнения, однако даже в самых простых случаях управление расходится при уменьшении сетки. Причиной этого является плохое приближение численными схемами высоких гармоник решения. В качестве решения обычно предлагается перейти к приближенному управлению, когда в конечный момент времени условия (1) выполняются лишь приближенно. В работе [5] был установлен явный вид решения смешанной начально-краевой задачи, в которой управляемый с обоих концов смещениями $\mu(t)$ и $\nu(t)$ стержень изначально покоился. Наложив дополнительное требование, чтобы время прохождения волны по каждому из участков стержня было одинаковым, удалось при помощи имеющегося решения получить аналитический вид оптимальных решений задач граничного управления с обоих концов и управления только с левого конца. Важно отметить, что к этому случаю сводится ситуация, когда отношение между длинами любых двух участков является рациональным числом.