ИСТИНА

Рассматриваются начально-краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений математической физики (эллиптических, гиперболических и параболических) с переменными коэффициентами. Такие уравнения описывают процессы в композиционных материалах, у которых механические характеристики меняются либо скачком либо непрерывно в пограничной области между фазами. Более того многие задачи из различных разделов механики сводятся к решению линейных уравнений с переменными коэффициентами. Популярным способом решения подобных уравнений является метод осреднения, под которым понимается любая процедура или же формула, позволяющая выразить решение задачи для уравнения с переменными коэффициентами через решение такой же задачи для уравнения с постоянными коэффициентами. В случае периодической зависимости коэффициентов от координат хорошие результаты дает метод Бахвалова-Победри [1,2], основанный на разложении искомого решения в ряд по малому геометрическому параметру, равному отношению характерного размера ячейки периодичности к характерному размеру тела. В докладе показано, что решение линейной задачи для уравнения с переменными коэффициентами связано с решением такой же задачи для уравнения с постоянными коэффициентами с помощью интегральной формулы. Приведены интегральные формулы для уравнений эллиптического, гиперболического и параболического типов с переменными коэффициентами, а также интегральные формулы для решения связанной системы уравнений нестационарной термоупругости. Наряду с интегральными представлениями получены представления решений исходных уравнений в виде рядов по всевозможным производным от решений сопутствующих уравнений с постоянными коэффициентами. Коэффициенты при производных зависят от характера неоднородности. Для них выписаны системы рекуррентных краевых задач. Получены формулы для эффективных характеристик.