ИСТИНА

Показывается, что для любого конечного $n\ge 2 $ в пространстве $C(Q)$ {\rm (}где $Q$~-- хаусдорфов компакт, $\operatorname{card} Q \ge n)$ существует $n$-мерное подпространство, любой сдвиг которого на вектор $p$, $\|p\|<1$, пересекает единичный шар~$B$ пространства $C(Q)$ по негладкому множеству. В~пространстве $L^1]$ с неатомарной мерой показывается, что если $\ell_0$~-- произвольное конечномерное подпространство в $L^1[0,1]$, $\dim \ell\geqslant 1$, то найдется существует всюду плотное в единичном шаре $B\subset L^1[0,1]$ множество его сдвигов, пересекающих единичную сферу пространства $L^1[0,1]$ по точкам ее гладкости. В качестве приложения этого результата показывается, что в $L^1[0,1]$ всякое конечномерное солнце выпукло. Этот результат является прямым обобщением классической теоремы П.~Орно--Ю.\,А.~Брудного--Е.\,А.~Горина об отсутствии нетривиальных конечномерных чебышёвских множеств в пространстве $L^1[0,1]$.