ИСТИНА

В докладе рассматривается модификация критического ветвящегося случайного блуждания с непрерывным временем по двумерной целочисленной решетке. Отличительной особенностью данной модели является введение параметра $\alpha$, управляющего поведением процесса в источнике ветвления и, тем самым, нарушающего симметричность матрицы переходных интенсивностей. В рамках модели проведено исследование асимптотического поведения вероятности нахождения частиц в источнике ветвления, а также вероятности выживания популяции частиц на 2D решетке. Отметим, что эти результаты для одномерной целочисленной решетки были получены в статье В. Топчего, В. Ватутина и Е. Яровой “Catalytic branching random walk and queueing systems with random number of independent servers ”, опубликованной в журнале “Teoriya Jmovirnostei ta Matematichna Statistika” (2003, N.69, p.158-172). Как оказалось, с точностью до константы асимптотическое поведение вероятности продолжения процесса в источнике совпадает с асимптотикой переходных вероятностей для симметричного случайного блуждания на 2D решетке в отличие от размерности 1D, где асимптотика при больших временах более медленна для переходной вероятности. Асимптотическое поведение вероятности выживания популяции частиц на 2D решетке с точностью до константы имеет вид $(ln t)^{-1/2}$, а на 1D решетке $t^{-1/4}$. Таким образом, выявлен фазовый переход по размерности решетки в исследуемой модели. Основной идеей доказательств послужила возможность сведения ветвящегося случайного блуждания к ветвящемуся процессу с двумя типами частиц, находящимися в источнике и вне его.