ИСТИНА

Рассмотрим модификацию ветвящегося случайного блуждания с непрерывным временем по двумерной целочисленной решетке, имеющей источник ветвления (т.е. источник размножения и гибели частиц) в начале координат. Отличительной особенностью данной модели является введение параметра $\alpha$, управляющего поведением процесса в источнике и при этом нарушающего симметричность матрицы интенсивностей переходных вероятностей случайного блуждания. Такая модель впервые была рассмотрена в статье [1] для критического ветвящегося случайного блуждания по $\mathbb{Z}$. Обозначим $\zeta(t)$ число частиц в начале координат в момент времени $t$. Целью настоящей работы является исследование асимптотического поведения вероятности $q(t):=P(\zeta(t)>0)$ на $\mathbb{Z}^2$. Перейдем к описанию процесса. Пусть в момент времени $t=0$ в начале координат находится одна частица. Вне начала координат случайное блуждание предполагается симметричным, однородным, регулярным, неприводимым, с конечной дисперсией скачков и задается матрицей переходных интенсивностей $A=(a(x,y))_{x,y\in\mathbb{Z}^{2}}$. Находясь в нуле, частица может либо перейти в произвольную точку решетки $y\neq 0$ c вероятностью $-(1-\alpha)a(0,y)a^{-1}(0,0)$, либо умереть с вероятностью $\alpha$, произведя перед гибелью случайное число потомков. Ветвление частиц задается производящей функцией $f(s)=\sum\nolimits_{k=0}^{\infty}{f_k s^k}$. Предполагается, что производящая функция задает критический ветвящийся процесс в источнике ($f'(1)=1$), и при этом $f''(1)<\infty$. Новые частицы эволюционируют по такому же закону независимо друг от друга и от всей предыстории. Основной результат настоящей работы сформулирован в следующей теореме. Теорема. При $t\to\infty$ справедливо асимптотическое равенство $$q(t)~Сt^{-1},$$ где константа $С$ определяется в явном виде с помощью параметров модели. Основной идеей доказательства является переход от ветвящегося случайного блуждания к ветвящемуся процессу с двумя типами частиц: в начале координат и вне его. Пpи таком подходе стандартным способом выписываются уравнения для производящих функций ветвящегося процесса [3]. На основании этих уравнений выводится интегральное уравнение для $q(t)$, а также находятся первый и второй факториальные моменты случайной величины $\zeta(t)$. С помощью факториальных моментов и интегрального уравнения получены оценки для $q(t)$, с использованием которых определяется асимптотическое поведение вероятности выживания частиц в источнике ветвления. Литература 1. Topchii V., Vatutin V., Yarovaya E. (2003) Catalytic branching random walk and queueing systems with random number of independent servers. Teor.Jmovirn. ta Matem. Statist, N.69, p.158-172. 2. Яровая Е.Б. Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородной среде. М.: МГУ, 2007, 104 с. 3. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971, 436 с.