ИСТИНА

Рассмотрим трехмерную систему Гельмгольца с периодическими краевыми условиями по пространственным переменным x, описывающую вихрь y(t,x) скорости течения вязкой несжимаемой жидкости, с импульсным управлением в правой части,где квадратичный оператор записан в виде суммы нормального оператора -Ф(y)y, чей образ коллинеарен y и тангенциального оператора -B(y), чей образ ортогонален y в пространстве L_2. В правой части уравнения Гельмгольца стоит импульсное (по времени t) управление с носителем в заданной подобласти пространственной области (т.е. в заданной подобласти трехмерного тора). Наша главная цель -- найти метод построения управления, стабилизирующего решение y(t,x), т.е обеспечивающего экспоненциальное по t стремление к нулю L_2-нормы ||y(t,.)|| при t стремящемуся к бесконечности. Отметим, что содержательность поставленной задачи тесно связана с тем, что до сих пор не решена проблема миллениума, т.е. не доказано существование гладкого решения трехмерной системы Навье-Стокса (или, что эквивалентно - Гельмголца) при любом гладком начальном условии. Решение поставленной задачи было разбито на два этапа. На первом этапе в уравнении Гельмгольца был опущен член с тангенциальной нелинейностью -B(y). В таком виде задача была успешно решена в [1],[2],[3],[4], причем для ее решения оказалось достаточным использовать лишь один импульс в нулевой момент времени, т.е. использовать стартовое управление. В настоящее время реализуется второй этап,т.е. рассматривается полное уравнение Гельмгольца и исследуется взаимодействие нормального и тангенциального квадратичных операторов. При этом реализация второго этапа находится пока на начальной стадии: сделаны лишь первые шаги, когда уравнение Гельмгольца заменено модельным уравнением, а именно, продифференцированным уравнением Бюргерса. Эти результаты будут основным содержанием доклада. Они опубликованы в [5]. Литература: [1]A.V.Fursikov. On the Normal Semilinear Parabolic Equations Corresponding to 3D Navier-Stokes System.- D.Homberg and F.Troltzsch (Eds.): CSMO 2011, IFIP AICT 391, pp.338-347, 2013. [2]A.V.Fursikov. On the normal type parabolic system corresponding to 3D Helmholtz system.-Advances in Mathematical Analysis of PDEs, v.232, Providence: Amer Math Soc, 2014, p.99-118. [3]A.V.Fursikov, L.S.Shatina. Nonlocal stabilization of the normal equation connected with Helmholtz system by starting control.- Discrete Contin. Dyn. Syst., v.38, 2018, p.1187-1242. [4]A.V.Fursikov, L.S.Osipova. On the nonlocal stabilization by starting control of the normal equation generated from the Helhotz system.-SCIENCE CHINA Mathematics, V.61, No.11, 2018, p.2017-2032. [5]А.В.Фурсиков, Л.С.Осипова. Об одном методе нелокальной стабилизации уравнения типа Бюргерса посредством импульсного управления.-Дифференциальные уравнения, т.55, 2019, с.702-716.