ИСТИНА

Источником энергии в солнечных вспышках служит токовый слой, возникающий в области магнитного пересоединения, причем вспышка является результатом распада этого слоя [1]. Предложенная в работе авторов модель такого распада сводится к задаче Римана --- Гильберта в трехсвязной области $g = \mathbb{C} \setminus (Y^+ \cup Y^-),$ представляющей собой внешность двух $Y$--образных разрезов на открытой комплексной плоскости $\mathbb{C}$. Разрезы определяются по формулам $Y^+= \Gamma_0 \cup \Gamma^- \cup \Gamma^+$, $Y^- = \{z: -\overline{z} \in Y^+\}$, где $\Gamma_0 = \{z: y = 0, x \in [a, R - a]\}$ - горизонтальный отрезок, изображающий токовый слой, $\Gamma^+ = \bigl\{z: z = R + r t e^{i \pi \alpha},\,\, t \in [0, 1]\bigr\}$ и $\Gamma^- = \bigl\{z: \overline{z} \in \Gamma^+\bigr\}$ - наклонные отрезки, изображающие ударные МГД--волны. Заметив, что область $g$ симметрична относительно осей $x$ и $y$, обозначим через $G$ ее четверть, образованную ее пересечением с первым квадрантом и представляющую собой односвязный пятиугольник с вершинами $z_0 = \infty$, $z_1 = 0$, $z_3 = R$ (слева от разреза $\Gamma^+$), $z_4 = R + r e^{i\pi\alpha}$, $z_5 = R$ (справа от разреза $\Gamma^+$). Аналогичной симметрией обладает и в целом краевая задача в области $g$. Ее постановка в $G$ формулируется следующим образом: требуется найти аналитическую в $G$ и непрерывную в $\overline{G}$ за исключением точек $z_0$ и $z_2$ функцию $\mathcal{F}$, удовлетворяющую краевому условию $$ {\rm Re} \bigl[h\, (z)\, \mathcal{F} (z)\bigr]\, =\, c\, (z),\qquad z \in \partial G, $$ в котором коэффициенты $h (z)$ и $c (z)$, $z \in \partial G$, кусочно--постоянны, и отвечающую условиям роста в точках $z_0$ и $z_2$. Показано, что решение рассматриваемой задачи существует и единственно в указанном классе и имеет следующий вид: $$ \mathcal{F} (z) = \mathcal{P} \circ \Phi (z). $$ Здесь $\zeta = \Phi (z)$ --- конформное отображение области $G$ на верхнюю полуплоскость $\mathbb{H}^+$ переменного $\zeta$, подчиненное нормировке $\Phi (z_0) = \infty$,\, $\Phi (z_1) = 0$,\, $\Phi (z_4) = 1$, а $\mathcal{P} (\zeta) = \mathcal{F} \circ \Phi^{-1} (\zeta)$ --- решение соответствующей задачи Римана --- Гильберта в $\mathbb{H}^+$, имеющее вид обобщенного интеграла Кристоффеля --- Шварца \begin{equation} \mathcal{P} (\zeta) \, = \, -i \int\nolimits_0^\zeta \, t^{-1/2} \, (t - \mu)^{-3/2} \, ( t - \lambda )^{ \alpha - 1 } \, ( t - \tau )^{ -1/2 - \alpha } P_3 (t) \, dt \, , \end{equation} где $\mu = \Phi (z_2)$, $\lambda = \Phi (z_3)$, $\tau = \Phi (z_5)$, а $P_3 (\zeta)$ --- полином третьей степени c вещественными коэффициентами, зависимость которых от параметров задачи выражаются через функцию Аппеля. Отображение, обратное к $\Phi$, дается интегралом Кристоффеля --- Шварца \begin{equation} \Phi^{-1} (\zeta) = \mathcal{K} \int_0^{\zeta} t^{-1/2} ( t - \lambda )^{-\alpha} ( t - 1 ) \; ( t - \tau )^{\alpha - 1} dt \, . \end{equation} Осуществлена высокоточная численная реализация задачи. Получены картины магнитного поля, соответствующие различным наборам параметров модели. Выявлен ряд физических закономерностей и исследован тип ударных волн, возникающих в рассматриваемой модели.