ИСТИНА

Рассмотрим задачу Римана \begin{gather} \left\{\begin{array}{l} \phi_t=0,\\ u_t+(\frac12u^2+\phi)_x=0,\\ \phi|_{t=0}=-\theta(x),~u|_{t=0}=u_-+(u_+-u_-)\theta(x),\label{eq-model-problem} \end{array}\right. \end{gather} где $u_-$ и $u_+$ -- известные константы, $\theta(x)$ -- функция Хевисайда. Нетрудно видеть, что матрица коэффициентов при производных по $x$ для этой системы имеет вид $$ {\bf A}=\left(\frac{\partial\Phi_i}{\partial V_j}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0&0\\ 1&u\end{array}\right), $$ одно из собственных значений матрицы ${\bf A}$ всегда равняется нулю, второе совпадает с $u$, и система (\ref{eq-model-problem}) является нестрого гиперболической по Петровскому (т.е. все ее собственные значения вещественны). Однако, при $u=0$ матрица ${\bf A}$ становится жордановой клеткой, и потому система (\ref{eq-model-problem}) не является нестрого гиперболической по Фридрихсу (т.е. не существует полного базиса из собственных векторов). По этой причине, стандартная техника построения решений неприменима. Для того, чтобы построить обобщенное решение задачи (\ref{eq-model-problem}), предлагается новый метод.