ИСТИНА

Программа de79d_p предназначена для вычисления решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с правой частью, зависящей от производной, в конце интервала интегрирования методом рядов Чебышёва. Версия на языке Паскаль. В качестве решения и его первой производной в конце интервала интегрирования [XN, XK] принимаются значения решения и его производной в конце последнего элементарного сегмента. Предполагается, что правая часть системы имеет непрерывные ограниченные частные производные по независимой переменной и по компонентам решения. Тогда решение системы разлагается на промежутке интегрирования в равномерно сходящийся ряд по смещенным многочленам Чебышёва первого рода. Разбиение промежутка интегрирования на элементарные сегменты (шаги) выполняется для того, чтобы на каждом таком сегменте ряды Чебышёва для решения и его первой и второй производных были быстросходящимися рядами. Другими словами, длина элементарных сегментов, задаваемая параметром H, подбирается таким образом, чтобы убывание модулей коэффициентов этих рядов Чебышёва на каждом элементарном сегменте происходило достаточно быстро, вследствие чего можно было бы считать частичные суммы этих рядов близкими к многочленам наилучшего равномерного приближения на элементарном сегменте для решения и его производных. Порядок этих частичных сумм задается параметром K. Коэффициенты ряда Чебышёва для решения на текущем сегменте вычисляются приближенно итерационным способом исходя из некоторого начального приближения с помощью квадратурной формулы Маркова. Количество итераций, которое предписывается выполнить в этом итерационном процессе, одинаково для всех сегментов и задается при обращении к подпрограмме. Если диаметр разбиения H подобран достаточно малым (или, вернее сказать, выбран довольно удачным), то хорошая точность приближенного решения может быть получена и с существенно меньшим числом итераций при любом способе выбора начального приближения. Вообще, число итераций зависит от K и H. С увеличением H или K число итераций может также возрастать. Если правая часть дифференциального уравнения не зависит от переменных Y, Y', т.е. дифференциальное уравнение имеет вид Y'' = F(X), то число итераций можно положить равным 1 при любых H и K, удовлетворяющих описанным выше условиям. В этом случае параметр IMAX = 1. Начальное приближение коэффициентов ряда Чебышёва для производной на текущем сегменте может быть вычислено двумя способами. В первом способе начальное приближение определяется только с использованием значения решения. Во втором способе начальное приближение определяется через коэффициенты ряда Чебышёва производной на предыдущем элементарном сегменте. Второй способ определения начального приближения в некоторых случаях может привести к более быстрой сходимости итерационного процесса и, тем самым, к меньшему числу выполняемых итераций. Способ выбора начального приближения задается пользователем при обращении к программе. Разбиение промежутка интегрирования на элементарные сегменты (шаги интегрирования) выполняется для того, чтобы на каждом таком сегменте ряды Чебышёва для решения и его производной были быстросходящимися рядами. Другими словами, длина элементарных сегментов, задаваемая параметром H, подбирается таким образом, чтобы убывание коэффициентов этих рядов Чебышёва на элементарном сегменте происходило достаточно быстро, вследствие чего можно было бы считать частичные суммы этих рядов близкими к многочленам наилучшего равномерного приближения на элементарном сегменте для решения и его производной. Порядок этих частичных сумм задается пользователем. Программа накапливает значения коэффициентов частичных сумм рядов Чебышёва на заданных элементарных сегментах, которые могут быть использованы для аналитического представления как самого решения, так и для аналитического представления его производной. Язык программирования: Паскаль Аналогов этой программы нет, поскольку она реализует новый численный метод, разработанный авторами программы. Программа распространяется бесплатно. Исходные тексты доступны по запросам пользователей.