ИСТИНА

Проект посвящен разработке численных методов решения обратных задач, возникающих в электрофизиологии сердца. В процессе выполнения проекта предполагается проведение исследований по следующим основным направлениям. Первое - состоит в разработке численных методов решения обратных задач для математических моделей процесса возбуждения сердца, представляющих собой начально-краевые задачи для эволюционных систем квазилинейных уравнений в частных производных в двумерных и трехмерных областях, соответствующих реальной геометрии сердца и его сечений. Будут созданы и программно реализованы численные методы определения источника возбуждения сердца по динамическим значениям потенциала на поверхности сердца, соответствующим либо инвазивным измерениям, сделанным с помощью катетеров, либо неинвазивным данным, полученным в результате решения обратной задачи электрокардиографии. В рамках этого направления будут также разработаны численные методы определения коэффициентов моделей возбуждения сердца, ориентированные на разработку методов диагностики кардиологических заболеваний. Второе направление представляет собой разработку численных методов решения обратных задач электрокардиографии, состоящих в определении потенциала электрического поля на поверхности сердца по измерениям потенциала на поверхности грудной клетки. Эти обратные задачи, являются задачами продолжения внутрь области решения эллиптического уравнения с части внешней границы, на которой заданы как решение, так и его нормальная производная. Основное внимание будет сосредоточено на создании численных методов, позволяющих для реальной трехмерной геометрии сердца и грудной клетки определять значения потенциала, как на внешней, так и на внутренней поверхности сердца и оценке влияния погрешностей в исходных данных на точность вычисления потенциала. Будет проведен анализ возможности применения разработанных методов и программного обеспечения для диагностики очагов аритмии сердца. Третье направление исследований состоит в разработке и программной реализации численных методов решения задач электроимпедансной томографии с конечным числом измерений, проводимых только на части внешней границы области. Эти задачи представляют собой обратные задачи для эллиптических уравнений с неизвестной внутренней границей, являющейся границей неоднородности кусочно-однородной двумерной или трехмерной среды. Информацией, используемой для определения неизвестной границы, является конечный набор решений эллиптического уравнения и их нормальных производных, заданных на части внешней границе области. Такие обратные задачи возникают в электрофизиологии сердца как при диагностике геометрии грудной клетки и сердца пациента, так и при квазистационарном подходе к анализу процесса возбуждения сердца. Работа будет проводиться в контакте с сотрудниками Российского научного центра хирургии имени Б.В.Петровского. Проект включает в себя постановку обратных задач, возникающих в электрофизиологии сердца, разработку численных методов решения прямых и обратных задач, программную реализацию предложенных алгоритмов и проведение вычислительных экспериментов. Проведение исследований по настоящему проекту является актуальным, а постановка ряда проблем в проекте является новой. Реализация целей проекта внесет существенный вклад в применение вычислительных методов и компьютерных технологий для исследования проблем электрофизиологии сердца и стимулирует новые направления разработки численных методов решения обратных задач. Проект соответствует приоритетным научным направлениям: живые системы; информационно-телекоммуникационные системы.

Исследована обратная задача для квазилинейной системы уравнений в частных производных с нелокальным краевым условием, содержащим запаздывающий аргумент. Доказана единственность ее решения. Разработан численный метод решения трехмерной задачи электроимпедансной томографии для кусочно однородной среды в случае измерений на части внешней границы. Изучены двумерные обратные задачи рассеяния для уравнения акустики, состоящие в определении плотности и акустического импеданса среды. Получено необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости этих задач в форме закона сохранения энергии. Изучены обратные и нелокальные задачи для эволюционных уравнений в банаховом пространстве. Проведено исследование линейной обратной задачи восстановления источника, установлен критерий единственности решения, найдены достаточные условия разрешимости. Разработан итерационный метод решения интегральных уравнений первого рода для дельта-образных ядер. Разработан двухмерный метод эмпирических мод и быстрый метод сопоставления изображений, основанный на максимизации их совместной энтропии.