ИСТИНА

Проведение исследований по актуальным направлениям спектральной теории операторов, теории функций действительного и комплексного переменного, аналитической теории чисел, важных задач математической физики.

Researches on the main directions of the spectral theory of operators, theories of real variable and complex variable functions, analytical theory of numbers, important problems of mathematical physics.

Доказать теоремы о сохранении свойств самосопряженности в случае самосопряженных операторов на главной диагонали и подчиненных внедиагональных членов. Доказать неулучшаемость констант (нижних граней) подчиненности. Получить точные условия, при которых возможна диагонализация операторной матрицы, то есть подобие матрицы диагональной, диагональные операторы которой подобны самосопряженным. Эти результаты имеют важное значение в математической физике, в частности, при выполнении компьютерных расчетов позволяют экономить время вычислительного процесса во много раз. Будут изучаться операторы Штурма-Лиувилля на отрезке, полуоси и оси с малым или большим физическим параметром и общими аналитическими потенциалами, а также полиномиальными потенциалами. Потребуется получение новых теорем для специальных функций Айри, Вебера и гипергеометрических. Мы получим полную классификацию кривых в комплексной плоскости, которые составляют предельный спектральный граф спектральной задачи (такой термин ранее был введен участниками проекта). Для важных конкретных потенциалов исследования будут выполнены отдельно с подробным описанием спектральных портретов. Для конкретных потенциалов подобные результаты будут получены для существенно более сложной спектральной задачи: уравнения Орра-Зоммерфельда с большими числами Рейнольдса. Для задач на полуоси и оси будут получены условия дискретности спектра, близкие к необходимым. Будет получен элементарный вывод оценок специальных арифметических сумм, связанных с многочленами Бернулли; вывод свойств алгебраических цепных дробей; решение аддитивных задач теории чисел в алгебраических полях; арифметические приложения в криптографии, математической теории томографии.

Научная школа формировалась под руководством академика В.А. Садовничего, начиная с 1969г. Ядром этой научной школы являются два постоянно действующих два научно-исследовательских семинара. Один из них «Современные проблемы математического анализа»(http://sa.msu.ru/) под руководством В.А.Садовничего , второй – «Операторные модели в математической физике» под руководством профессора А.А.Шкаликова (http://spectrallab.math.msu.su/seminar.html). Бессменным руководителем школы на протяжении всех лет является В.А.Садовничий, в текущем году в связи с большим объемом работы руководство грантом научной школы было поручено А.А.Шкаликову. За годы существования участники школы получили немало результатов, которые в настоящее время стали общепризнанными. Наиболее значимые результаты были получены в спектральной теории операторов, теории обратных задач, теории функций, теории приближений, а также в прикладных исследованиях по математическому моделированию космических тренажеров, по автоматизации тактильной диагностики в медицине, по обработке космических снимков.