ИСТИНА

В 2014 году проводились исследования некоммутативных многообразий (схем), которые определялись как дифференциально градуированные категории специального типа. В частности, все коммутативные схемы являются некоммутативными схемами, так как дифференциально-градуированные категории совершенных комплексов являются таковыми. Проводились исследовани и изучения различных свойств некоммутативных схем. Были получены описания гладкости, регулярности и собственности некоммутативных схем и показано, что эти свойства в точности соответствуют известным свойствам в коммутативном случае. Были введены новые понятия геометричности для некоммутативных схем и были изучены их свойства. Эти результаты появились в виде препринта. Изучена связь производной категории когерентных пучков циклического накрытия многообразия, обладающего прямоугольным лефшецевым разложением, и его дивизора ветвления. В качестве примера разобраны случаи гиперэллиптических многообразий Фано--Гушеля--Мукаи, двойных тел и др. Получены результаты об общей структуре гомотопов, построенных с помощью хорошо темперированных элементов в ассоциативных алгебрах. Построен проективный генератор в сердцевинах т-структур, которые получаются склейкой, при условии, что в склеиваемых т-структурах имеются проективные генераторы и выполнены некоторые технические условия на склейку. Алгебра эндоморфизмов подходящего генератора является обобщенным гомотопом при условии, что склеивающий дифференциально-градуированный бимодуль имеет только две гомологии и дифференциал хорошо темперирован. Конструкция проективного генератора применена к алгебрам типа Темперлея-Либа графов. Меняя генераторы в склеиваемых т-структурах, а также склеивающий бимодуль, можно получать различные алгебры, теория представлений которых эквивалентна исходной, что придает необходимую гибкость при изучении теории представлений алгебр Темперлея-Либа. Развита теория представлений редуцированных алгебр Темперли-Либа полного двудольного графа. Как известно, многообразия модулей этой алгебры параметризуют ортогональные пары в sl(6) и обобщенные адамаровы матрицы размера 6. Используя теорию инвариантов и алгебраическую геометрию, участниками проекта показано, что эти многообразия модулей бирациональны расслоенному произведению более понятных многообразий. Используя различные методы алгебраической геометрии, получено существование 4-мерной компоненты многообразия модулей алгебр Темперли-Либа полного двудольного графа, содержащего по 6 вершин в каждом ряду. В частности, также получены 4-мерные компоненты многообразий обобщенно-адамаровых и комплексно-адамаровых матриц. Категорное разрешение особенностей было построено Кузнецовым и Лунцем в 2012 г. Оно основано на поочередном использовании шагов двух типов. В рамках работы по проекту показано, как формализм фильтрованных производных категорий позволяет объединить два таких шага в один. В результате получается очень естественное категорное утончение обычной конструкции раздутия алгебраического многообразия с центром в замкнутой подсхеме. Пусть Q -- семейство 2-мерных квадрик над гладкой 3-мерной базой Y. Мы рассматриваем относительную схему M Фано прямых на нем. Схема M обладает структурой расслоения на коники над двулистным накрытием X -> Y, разветвленным в локусе вырождения семейства Q над Y. Двулистное накрытие X -> Y особо в конечном числе точек (соответствующих точкам y в Y, над которыми квадрика Q_y вырождается в объединение двух плоскостей), слои схемы M над этими точками являются объединением двух плоскостей, пересекающихся в точке. Построено полуортогональное разложение производной категории когерентных пучков на M. Разложение состоит из трех компонент: первая эквивалентна производной категории малого разрешения особенностей X^+ многообразия X, вторая -- скрученным разрешениям особенностей (задаваемым пучком четных частей алгебр Клиффорда на Y), а третья порождается полностью ортогональным исключительным набором. Установлена когерентность координатного кольца некоммутативного грассманниана (в терминологии Ефимова--Лунца--Орлова) коразмерности два. Получена новая характеризация коммутативных арифметических колец в терминах конечно порожденных модулей над ними.

Изучена связь производной категории когерентных пучков циклического накрытия многообразия, обладающего прямоугольным лефшецевым разложением, и его дивизора ветвления. В качестве примера разобраны случаи гиперэллиптических многообразий Фано--Гушеля--Мукаи, двойных тел и др. Получены результаты об общей структуре гомотопов, построенных с помощью хорошо темперированных элементов в ассоциативных алгебрах. Построен проективный генератор в сердцевинах т-структур, которые получаются склейкой, при условии, что в склеиваемых т-структурах имеются проективные генераторы и выполнены некоторые технические условия на склейку. Алгебра эндоморфизмов подходящего генератора является обобщенным гомотопом при условии, что склеивающий дифференциально-градуированный бимодуль имеет только две гомологии и дифференциал хорошо темперирован. Конструкция проективного генератора применена к алгебрам типа Темперлея-Либа графов. Меняя генераторы в склеиваемых т-структурах, а также склеивающий бимодуль, можно получать различные алгебры, теория представлений которых эквивалентна исходной, что придает необходимую гибкость при изучении теории представлений алгебр Темперлея-Либа. Установлена когерентность координатного кольца некоммутативного грассманниана (в терминологии Ефимова--Лунца--Орлова) коразмерности два. Получена новая характеризация коммутативных арифметических колец в терминах конечно порожденных модулей над ними.