ИСТИНА

Предложены различные параметризации областей однослойного и многослойного тонких тел. Создан новый тензорный аппарат для полного описания предложенных параметризаций и введен аппарат дифференциальных операторов для теорий тонких тел. Сформулированы фундаментальные теоремы для областей тонких тел при рассмотренных параметризациях. Получены некоторые рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра и Чебышева, применяемые при моделировании деформирования тонких тел. Построена теория моментов относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева. Даны представления уравнений движения и притока тепла и ОС физического и теплового содержаний при рассматриваемых параметризациях, а также в моментах для теории тонких тел. Выведены граничные и начальные условия в моментах. На основании развитого метода ортогональных полиномов (Лежандра и Чебышева) построены новые варианты теорий упругих тонких тел (однослойных и многослойных тонких тел с одним малым размером, а также тонких тел с двумя малыми размерами и тонких плоских областей с одним малым размером) при различных параметризациях областей этих тел, среди которых новая параметризация более доступная к экспериментальному изучению. Из вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно, а также обобщенных вариационных принципов типа Рейсснера в рамках трехмерной микрополярной теории получены соответствующие вариационные принципы для теории тонких тел, а из последних выведены соответствующие вариационные принципы для теории тонких тел в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева. При этом для микрополярной теории многослойных тонких тел, как при полном контакте, так и при наличии зон ослабленной адгезии, получены только обобщенные вариационные принципы типа Рейсснера, так как из них легко выводятся остальные (Лагранжа, Кастильяно). Доказаны теоремы о минимуме стационарной точки лагранжиана и максимуме стационарной точки кастильяниана, а также теорема о единственности обобщенного решения краевых задач. Даны постановки связанной и несвязанной динамических задач в моментах для тонких тел. Построены корректирующие слагаемые,позволяющие удовлетворять граничным условиям на лицевых поверхностях. По способу В.В. Понятовского найдены различные выражения для компонент тензора напряжений, которые удовлетворяют граничным условиям. Доказано, что способ В.В. Понятовского эквивалентен способу разложения всех компонент тензора напряжений в ряды по рассматриваемой системе ортогональных полиномов. Исходя из трехмерных уравнений микрополярного деформируемого твердого тела, получены уравнения микрополярных и расширенных микрополярных теорий оболочек, оболочек класса TS и призматических оболочек в контравариантных компонентах тензоров напряжений и моментных напряжений. Выведены граничные условия. Даны сравнения уравнений некоторых теорий. Сформулирована кинематическая гипотеза для теории тонких тел. Найдены обратные тензоры-операторы к тензору-оператору уравнений движения теории упругости в перемещениях изотропного однородного материала и оператору напряжения, позволяющие расщеплять уравнения и граничные условия. Построен обратный оператор к матричному дифференциальному тензору-оператору уравнений движения микрополярной теории упругости в перемещениях и вращениях как для изотропных однородных материалов с центром симметрии, так и для материалов, не обладающих центром симметрии. В этих случаях получены уравнения по отдельности векторов перемещений и вращений. Расщепленные уравнения получены и для редуцированной среды. При отсутствии объемных нагрузок уравнения редуцированной среды не зависят от свойств материала, что наводит на мысль, что эти уравнения могут быть использованы для идентификации материальных констант этой среды. Построен также обратный оператор к матричному дифференциальному тензору-оператору напряжения и моментного напряжения в случае редуцированной среды с кусочно-гладкой плоской границей. Выявлены случаи, для которых легко обратить оператор напряжения и моментного напряжения. Из расщепленных уравнений классической и микрополярной теорий упругости получены соответствующие расщепленные уравнения квазистатической задачи теорий призматических тел постоянной толщины в перемещениях в классическом случае, а в перемещениях и вращениях в микрополярном. Из последних уравнений в свою очередь выведены уравнения в моментах неизвестных вектор-функций относительно любых систем ортогональных полиномов. Получены системы уравнений различных приближений (с нулевого по восьмого порядка) в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева. Начиная с первого приближения, системы уравнений распадаются на две системы. Одна из них - система относительно моментов четных порядков неизвестной векторной функции, а другая относительно моментов нечетных порядков той же функций. На основании найденного обратного оператора к оператору любой из этих систем для каждого момента неизвестной векторной функции получается уравнение эллиптического типа высокого порядка (порядок системы зависит от порядка приближения), характеристические корни которого легко находятся. Используя метод И.Н.Векуа для решения таких уравнений, можно получить их аналитическое решение. Получены расщепленные уравнения в моментах векторов перемещений и вращений относительно произвольной системы полиномов для микрополярной теории призматических тонких тел с двумя малыми размерами, имеющих поперечное сечение в виде прямоугольника, а также для редуцированной среды, содержащие уравнение классической теории. Выведены расщепленные системы уравнений квазистатической задачи микрополярной теории многослойных призматических тел постоянной толщины в перемещениях и вращениях и в моментах векторов перемещений и вращений. Получены расщепленные системы уравнений восьмого приближения микрополярной теории многослойных призматических тел постоянной толщины в моментах векторов перемещений и вращений. Используя метод Векуа, для этих систем, а также для уравнений редуцированной среды можно выписать аналитические решения. Приведены численные решения задач различных приближений о тонком теле с двумя малыми размерами и прямоугольной тонкой плоской области с защемленными краями при различных нагрузках, а также о двухслойной двумерной области с защемленными краями.