ИСТИНА

Диссертация Наталии Павловны Стрелковой посвящена изучению замкнутых локально минимальных сетей на выпуклых многогранниках, то есть вложенных в двумерные поверхности многогранников однородных графов степени три, рёбра которых – геодезические, стыкующиеся в вершинах под равными углами по 120 градусов. Такие сети можно рассматривать как обобщение замкнутых геодезических, возникающее, если допустить ветвления. Вопрос о том, на каких многогранниках существует замкнутая локально минимальная сеть – сложный, даже в случае замкнутых геодезических на этот вопрос нет полного ответа. В диссертации Н.П.Стрелковой получен ряд нетривиальных результатов в этом направлении, в том числе: (1) показано, что простое условие на кривизны вершин многогранника, необходимое для существования минимальной сети, не является достаточным уже в случае тетраэдров; (2) введено понятие системы разрезов, в некоторым смысле характеризующее способ вложения сети в многогранник; (3) с использованием понятия системы разрезов доказано новое геометрическое необходимое условие существования минимальной сети на выпуклом многограннике; (4) доказано, что среди многогранников, кривизны всех вершин которых кратны 60 градусам, на “почти всех” многогранниках (открытом всюду плотном подмножестве) минимальная сеть существует; (5) описаны все взвешенные графы, которые могут быть реализованы на выпуклых многогранниках как замкнутая локально минимальная сеть с длинами рёбер, равными весам рёбер. При решении этих задач Н.П.Стрелкова использовала различные комбинаторные и геометрические методы, теорию А.Д.Александрова о внутренней геометрии многогранников, а также соображения экстремальности (исследовала вопрос достижимости минимума функционала длины в определённом классе сетей). При изучении минимальных сетей на многогранниках возник естественный вопрос об их устойчивости. Н.П.Стрелкова доказала, что в пространствах неположительной кривизны в смысле А.Д.Александрова верен следующий факт: если сеть локально минимальна, т. е. её нельзя укоротить малой деформацией в окрестности точки сети, то эту сеть нельзя укоротить никакой малой деформацией, даже если эта деформация затрагивает сеть по всей её длине. Этот результат является в некотором смысле обобщением теоремы об отсутствии сопряжённых точек для геодезических на поверхностях неположительной кривизны.